Bagaimana untuk mengintegrasikan sqrt (x ^ 2 + 4x) dx?

Jawapan:

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)

Penjelasan:

Oleh kerana lebih mudah untuk menangani hanya satu # x # di bawah akar persegi, kami melengkapkan persegi:

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2 + k #

# x ^ 2 + 4x = x ^ 2 + 4x + 4 + k #

# k = -4 #

# x ^ 2 + 4x = (x + 2) ^ 2-4 #

#int sqrt (x ^ 2 + 4x) dx = int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx #

Sekarang kita perlu melakukan penggantian trigonometri. Saya akan menggunakan fungsi trigonomik hiperbolik (kerana integral sekalipun biasanya tidak begitu bagus). Kami mahu menggunakan identiti berikut:

# cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #

Untuk melakukan ini, kami mahu # (x + 2) ^ 2 = 4cosh ^ 2 (theta) #. Kita boleh selesaikan # x # untuk mendapatkan apa yang kita perlukan:

# x + 2 = 2cosh (theta) #

# x = 2cosh (theta) -2 #

Untuk menyatukan berkenaan dengan # theta #, kita perlu berlipat ganda dengan derivatif # x # berkenaan dengan # theta #:

# dx / (d theta) = 2sinh (theta) #

#int sqrt ((x + 2) ^ 2-4) dx = int sqrt ((2cosh (theta)) ^ 2-4) * 2sinh (theta) d theta =

# = 2int sqrt (4cosh ^ 2 (theta) -4) * sinh (theta) d theta = 2int sqrt (4 (cosh ^ 2 (theta) -1)

# = 2 * sqrt (4) int sqrt (cosh ^ 2 (theta) -1) * sinh (theta) d theta =

Sekarang kita boleh menggunakan identiti # cosh ^ 2 (theta) -1 = sinh ^ 2 (theta) #:

# = 4int sqrt (sinh ^ 2 (theta)) * sinh (theta) d theta = 4int sinh ^ 2 (theta) d theta #

Sekarang kita menggunakan identiti:

# sinh ^ 2 (theta) = 1/2 (cosh (2theta) -1) #

# 4 / 2int cosh (2theta) -1 d theta = int 2cosh (2theta) d theta-2theta = #

Kita boleh melakukan penggantian eksplisit untuk # 2cosh (2theta) #, tetapi sangat jelas bahawa jawapannya #sinh (2theta) #:

# = sinh (2theta) -2theta + C #

Sekarang kita perlu membatalkan penggantian. Kita boleh selesaikan # theta # untuk mendapatkan:

# theta = cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) #

Ini memberi:

#sinh (2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2)) - 2cosh ^ -1 ((x + 2) / 2) + C #