Kawasan yang dibatasi oleh lengkung y = 3 + 2x-x ^ 2 dan garis y = 3 diputar sepenuhnya tentang garisan y = 3. Cari isipadu pepejal revolusi yang diperolehi?

Jawapan:

# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #

Penjelasan:

Kawasan ini adalah penyelesaian sistem ini:

# {(y <= - x ^ 2 + 2x + 3), (y> = 3):} #

Dan ia dilukis dalam plot ini:

Formula untuk isipadu pepejal putaran paksi-x ialah:

# V = pi * int_a ^ b f ^ 2 (z) dz #.

Untuk menggunakan formula yang kita harus menterjemahkan setengah bulan pada paksi-x, kawasan itu tidak akan berubah, dan oleh itu ia tidak akan mengubah juga jumlah:

# y = -x ^ 2 + 2x + 3color (merah) (- 3) = - x ^ 2 + 2x #

# y = 3color (merah) (- 3) = 0 #

Dengan cara ini kita dapati #f (z) = - z ^ 2 + 2z #.

Kawasan diterjemahkan sekarang telah diperiksa di sini:

Tetapi yang merupakan a dan b yang penting? Penyelesaian sistem ini:

# {(y = -x ^ 2 + 2x), (y = 0):} #

Jadi # a = 0 dan b = 2 #.

Mari kita menulis semula dan menyelesaikan yang penting:

# V = pi * int_0 ^ 2 (-z ^ 2 + 2z) ^ 2 dz #

# V = pi * int_0 ^ 2 z ^ 4-4z ^ 3 + 4z ^ 2 dz #

# V = pi * z ^ 5/5 (4z ^ 4) / 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #

# V = pi * z ^ 5/5-z ^ 4 + (4z ^ 3) / 3 _0 ^ 2 #

# V = pi * (2 ^ 5 / 5-2 ^ 4 + (4 * 2 ^ 3) / 3-0 ^ 5/5 + 0 ^ 4- (4 * 0 ^ 3) / 3)

# V = pi * (32 / 5-16 + 32/3 + 0) #

# V = pi * (96 / 15-240 / 15 + 160/15) #

# V = 16 / 15pi ~~ 3.35103 #

Dan "lemon" ini adalah pepejal yang diperolehi: