Soalan # 27939

Jawapan:

Seperti yang ditunjukkan Sudip Sinha # -1 + sqrt3i # TIDAK sifar. (Saya terabaikan untuk memeriksa itu.) Sifar lain adalah # 1-sqrt3 i # dan #1#.

Penjelasan:

Kerana semua pekali adalah nombor nyata, apa-apa sifar khayalan mesti berlaku dalam pasangan konjugasi.

Oleh itu, # 1-sqrt3 i # adalah sifar.

Jika # c # adalah sifar kemudian # z-c # adalah satu faktor, jadi kita dapat berlipat ganda

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # untuk mendapatkan # z ^ 2-2z + 4 #

dan kemudian dibahagikan #P (z) # dengan kuadrat itu.

Tetapi lebih cepat untuk mempertimbangkan sifar rasional yang mungkin untuk # P # pertama. Atau tambah koefisien untuk melihatnya #1# juga sifar.

Jawapan:

#1# dan # 1 - sqrt3 i #

Penjelasan:

Terdapat ralat dalam soalan anda. Akar hendaklah # 1 + sqrt3 i #. Anda boleh mengesahkan ini dengan meletakkan nilai dalam ungkapan. Jika ia adalah akar ungkapan itu harus menilai kepada sifar.

Ungkapan mempunyai semua koefisien sebenar, oleh itu oleh Teorem Akar Kompleks Kompleks (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem), kita mempunyai akar yang kompleks # 1 - sqrt3 i #, Jelas, akar yang ketiga (katakanlah # a #) mesti nyata, kerana ia tidak boleh mempunyai konjugasi yang kompleks; sebaliknya akan ada 4 akar, yang tidak mungkin untuk persamaan darjah ke-3.

Catatan

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (Sejak # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

Kami akan cuba untuk mendapatkan faktor ini dalam ungkapan.

Kita boleh menulis:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

Jawapan:

Sebagai intro, saya fikir bahawa akar perlu #color (biru) (1 + sqrt3) # dan tidak #color (merah) (- 1 + sqrt3) #

Atas dasar itu jawapan saya:

#z dalam {1, "" 1 + sqrt3, "" 1-sqrt3} #

Penjelasan:

Dengan menggunakan idea conjugates kompleks dan lain-lain helah yang sejuk.

#P (z) # adalah polinomial darjah #3#. Ini bermakna bahawa ia hanya perlu #3# akar.

Satu fakta yang menarik tentang akar kompleks adalah bahawa mereka tidak pernah berlaku sendirian. Mereka selalu berlaku dalam pasangan konjugat.

Jadi kalau # 1 + isqrt3 # adalah satu akar, maka konjugat itu: # 1-isqrt3 # paling pasti adalah akar juga!

Dan kerana hanya ada satu lagi akar kiri, kita boleh memanggil akar itu # z = a #.

Ia bukan nombor yang rumit kerana, akar kompleks sentiasa berlaku berpasangan.

Dan kerana ini adalah yang terakhir dari #3# akar, tidak boleh ada pasangan lain selepas yang pertama!

Pada akhirnya faktor-faktor #P (z) # mudah dijumpai # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "dan" (z-a) #

NB: Perhatikan bahawa perbezaan antara akar dan faktor ialah:

- Satu akar boleh # z = 1 + i #

Tetapi faktor sepadan akan # z- (1 + i) #

Silap mata kedua ialah, dengan pemfaktoran #P (z) # kita sepatutnya mendapat sesuatu seperti ini:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #

Selanjutnya, mengembangkan pendakap, #P (z) = z ^ 2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a)

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = z ^ 3 + z ^ 2 (-a-2) + z (2a + 4) -4a #

Seterusnya, kita menyamakannya dengan polinomial asal #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# => z ^ 3 + z ^ 2 (-a + 2) + z (-2a + 4) -4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

Oleh kerana kedua polinomial adalah sama, kita menyamakan pekali # z ^ 3 #, # z ^ 2 #, # z ^ 1 #dan # z ^ 0 #(istilah malar) di kedua-dua pihak,

Sebenarnya, kita hanya perlu memilih satu persamaan dan untuk menyelesaikannya # a #

Menyamakan istilah yang berterusan, # => - 4a = -4 #

# => a = 1 #

Oleh itu, akar yang terakhir adalah #color (biru) (z = 1) #