Bukti bahawa N = (45 + 29 sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29 sqrt (2)) ^ (1/3) adalah integer?

Jawapan:

Pertimbangkan # t ^ 3-21t-90 = 0 #

Ini mempunyai satu akar sebenar iaitu #6# a.k.a. # (45 + 29sqrt (2)) ^ (1/3) + (45-29sqrt (2)) ^ (1/3) #

Penjelasan:

Pertimbangkan persamaan ini:

# t ^ 3-21t-90 = 0 #

Menggunakan kaedah Cardano untuk menyelesaikannya, mari #t = u + v #

Kemudian:

# u ^ 3 + v ^ 3 + 3 (uv-7) (u + v) -90 = 0 #

Untuk menghapuskan istilah dalam # (u + v) #, tambah kekangan itu # uv = 7 #

Kemudian:

# u ^ 3 + 7 ^ 3 / u ^ 3-90 = 0 #

Maju melalui oleh # u ^ 3 # dan susun semula untuk mendapatkan kuadrat dalam # u ^ 3 #:

# (u ^ 3) ^ 2-90 (u ^ 3) +343 = 0 #

oleh formula kuadratik, ini mempunyai akar:

# u ^ 3 = (90 + -sqrt (90 ^ 2- (4 * 343))) / 2 #

#color (putih) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (8100-1372) #

#color (putih) (u ^ 3) = 45 + - 1 / 2sqrt (6728) #

#color (putih) (u ^ 3) = 45 + - 29sqrt (2) #

Oleh kerana ini adalah Real dan derivasi adalah simetri dalam # u # dan # v #, kita boleh menggunakan salah satu akar ini # u ^ 3 # dan yang lainnya untuk # v ^ 3 # untuk menyimpulkan bahawa sifar Nyata # t ^ 3-21t-90 # adalah:

# t_1 = root (3) (45 + 29sqrt (2)) + root (3) (45-29sqrt (2)) #

tetapi kita dapati:

#(6)^3-21(6)-90 = 216 - 126 - 90 = 0#

Jadi sifar sebenar # t ^ 3-21t-90 # adalah #6#

Jadi # 6 = root (3) (45 + 29sqrt (2)) + root (3) (45-29sqrt (2)) #

#color (white) () #

Nota kaki

Untuk mencari persamaan padu, saya menggunakan kaedah Cardano ke belakang.

Jawapan:

#N = 6 #

Penjelasan:

Membuat #x = 45 + 29 sqrt (2) # dan #y = 45-29 sqrt (2) # kemudian

(x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = x + 3 (xy) ^ (1/3) x ^ (1/3) +3 (xy) ^ (1/3) y ^ (1/3) + y #

# (x y) ^ (1/3) = (7 ^ 3) ^ (1/3) = 7 #

# x + y = 2 xx 45 #

jadi

# (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) ^ 3 = 90 + 21 (x ^ (1/3) + y ^ (1/3)) #

atau memanggil #z = x ^ (1/3) + y ^ (1/3) # kita ada

# z ^ 3-21 z-90 = 0 #

dengan # 90 = 2 xx 3 ^ 2 xx 5 # dan #z = 6 # adalah akar begitu

# x ^ (1/3) + y ^ (1/3) = 6 #