Apakah extrema setempat, jika ada, daripada f (x) = x ^ 2 + 9x +1?

Jawapan:

Parabolae mempunyai satu ekstrema, puncaknya.

Ia adalah #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Sejak # {d ^ 2 f (x)} / dx = 2 # di mana-mana fungsi adalah cekung di mana-mana dan titik ini mesti minimum.

Penjelasan:

Anda mempunyai dua akar untuk mencari puncak parabola: satu, menggunakan kalkulus untuk mencari adalah derivatif adalah sifar; dua, elakkan kalkulus pada semua kos dan selesaikan sahaja persegi. Kami akan menggunakan kalkulus untuk amalan ini.

#f (x) = x ^ 2 + 9x + 1 #, kita perlu mengambil derivatif ini.

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2 + 9x + 1) #

Dengan linieriti derivatif yang kita ada

# {d f (x)} / dx = {d} / dx (x ^ 2) + {d} / dx (9x) + {d} / dx (1).

Menggunakan peraturan kuasa, # d / dx x ^ n = n x ^ {n-1} # kita ada

# {d f (x)} / dx = 2 * x ^ 1 + 9 * 1 * x ^ 0 + 0 = 2x + 9 #.

Kami menetapkan ini sama dengan sifar untuk mencari mata kritikal, minima dan maxima tempatan dan global dan kadang-kadang titik infleksi mempunyai derivatif sifar.

# 0 = 2x + 9 # #=># # x = -9 / 2 #,

jadi kita mempunyai satu titik kritikal di # x = -9 / 2 # atau #-4 1/2#.

Untuk mencari koordinat y dari titik kritikal yang kami sub # x = -9 / 2 # kembali ke dalam fungsi, #f (-9/2) = (- 9/2) ^ 2 + 9 (-9/2) +1 = 81/4 - 81/2 + 1 #

#=81/4 - 162/4 + 4/4=-77/4=-19 1/4#.

Titik kritikal / puncak adalah #(-4 1/2, -19 1/4)#.

Kita tahu bahawa kerana #a> 0 #, ini adalah maksimum.

Untuk mencari secara rasmi jika ia adalah maksima atau minimum, kita perlu melakukan ujian derivatif kedua.

dx (2x) + {d} / dx (9) = 2 + 0 = 2 #

Derivatif kedua adalah 2 di semua nilai x. Ini bermakna ia adalah lebih besar maka sifar di mana-mana, dan fungsi itu cekung di mana-mana (ia adalah parabola dengan #a> 0 # selepas semua), maka extrema mesti minimum, puncaknya.