Bilakah anda menggunakan formula Heron untuk mencari kawasan?

Anda boleh menggunakannya apabila anda mengetahui panjang semua tiga segi segitiga.

Saya harap ini membantu.

Jawapan:

Formula Heron hampir selalu formula yang salah digunakan; cuba Archimedes 'Theorem untuk segitiga dengan kawasan # A # dan sisi # a, b, c #:

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

#quad = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

#quad = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# quad = 16s (s-a) (s-b) (s-c) # di mana # s = 1/2 (a + b + c) #

Yang terakhir ini adalah Heron nipis.

Penjelasan:

Hero of Alexandria menulis pada abad pertama AD. Kenapa kita terus menyeksa pelajar dengan hasilnya apabila terdapat kesamaan moden yang lebih baik yang saya tidak tahu.

Formula Heron untuk kawasan itu # A # segitiga dengan sisi # a, b, c # adalah

# A = sqrt {s (s-a) (s-b) (s-c)} # di mana # s = 1/2 (a + b + c) # adalah semiperimeter.

Tidak syak lagi formula ini hebat. Tetapi ia janggal untuk digunakan kerana pecahan dan, jika kita mula dari koordinat, empat punca persegi.

Mari kita buat matematik. Kami menua dan menghilangkannya # s # yang kebanyakannya berfungsi untuk menyembunyikan a #16# dan pemfaktoran yang penting. Anda mungkin mahu mencuba sendiri terlebih dahulu.

(A + b + c) (1/2 (a + b + c) -a) (1/2 (a + b + c) -b) (1/2 (a + b + c) -c) #

# A ^ 2 = 1/2 (a + b + c) (1/2 (-a + b + c)) (1/2 (a-b + c)) (1/2 (a + bc) #

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

Itu sudah lebih baik daripada bentuk Heron. Kami menjimatkan pecahan hingga akhir dan tidak ada lagi yang tertanya-tanya mengenai pengertian semiperimeter itu.

Kes yang merosot itu memberitahu. Apabila salah satu faktor dengan tanda tolak adalah sifar, itulah apabila kedua belah pihak menambah tepat ke sisi yang lain. Ini adalah jarak antara tiga titik kollinear, segitiga degenerat, dan kita mendapat kawasan sifar. Masuk akal.

The # a + b + c # faktor menarik. Apa yang memberitahu kita formula ini masih berfungsi jika kita menggunakan anjakan, panjang yang ditandatangani, dan bukan semua positif.

Formula ini masih janggal untuk menggunakan koordinat yang diberikan. Mari kita kalikan; anda mungkin mahu mencubanya sendiri;

# 16A ^ 2 = (a + b + c) (- a + b + c) (a-b + c) (a + b-c) #

# = (-a ^ 2-ab-ac + ab + b ^ 2 + bc + ac + bc + c ^ 2) (a ^ 2-ab + ac + ab-b ^ 2 + bc -ac + bc-c ^ 2) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# = (-a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2 + 2bc) (a ^ 2 - b ^ 2-c ^ 2 + 2bc) #

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4)

Bentuk itu bergantung hanya pada segi empat segi panjang. Ia jelas simetri sepenuhnya. Kita boleh melampaui Heron sekarang dan katakan jika panjang kuasa dua adalah rasional, begitu juga kawasan yang luas.

Tetapi kita boleh melakukan lebih baik jika kita perhatikan

# (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) +2 (a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2c ^) #

Mengurangkan,

# 16A ^ 2 = (a ^ 2 + b ^ 2 + c ^ 2) ^ 2 - 2 (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) #

Itulah bentuk tercantik.

Terdapat bentuk mencari asimetrik yang biasanya paling berguna. Kami perhatikan

# (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 = (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4) -2 (-a ^ 2b ^ 2 + a ^ 2c ^ 2 + b ^ 2) #

Menambah ini kepada

# 16A ^ 2 = 2 (a ^ 2 b ^ 2 + a ^ 2 c ^ 2 + b ^ 2 c ^ 2) - (a ^ 4 + b ^ 4 + c ^ 4)

# 16A ^ 2 = 4a ^ 2b ^ 2 - (a ^ 2 + b ^ 2 - c ^ 2) ^ 2 #

Itulah bentuk yang paling berguna. Terdapat tiga cara untuk menulisnya, bertukar sisi.

Secara kolektifnya dipanggil Teori Archimedes, dari Trigonometri Rasional NJ Wildberger.

Apabila diberikan koordinat 2D, sering Formula Shoelace adalah jalan terpantas ke kawasan itu, tetapi saya akan menyimpannya untuk jawatan lain.