Apakah selang penumpuan sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? Dan apakah jumlahnya dalam x = 3?

$Apakah selang penumpuan sum_ {n = 0} ^ {oo} [log_2 ( frac {x + 1} {x-2})] ^ n? Dan apakah jumlahnya dalam x = 3?$

Jawapan:

# - oo, -4 "U" 5, oo "adalah selang penumpuan untuk x" #

# "x = 3 tidak dalam selang penumpuan sehingga jumlah untuk x = 3 adalah" oo #

Penjelasan:

# "Rawat jumlah itu kerana ia akan menjadi siri geometri dengan menggantikan" #

# "z = log_2 ((x + 1) / (x-2)) #

# "Kemudian kita ada" #

#sum_ {n = 0} z ^ n = 1 / (1-z) "untuk" | z | <1 #

# "Jadi selang penumpuan adalah" #

# -1 <log_2 ((x + 1) / (x-2)) <1 #

# => 1/2 <(x + 1) / (x-2) <2 #

# => (x-2) / 2 <x + 1 <2 (x-2) "OR" #

# (x-2) / 2> x + 1> 2 (x-2) "(x-2 negatif)" #

# "Kes positif:" #

# => x-2 <2x + 2 <4 (x-2) #

# => 0 <x + 4 <3 (x-2) #

# => -4 <x <3x-10 #

# => x> -4 dan x> 5 #

# => x> 5 #

# "Kes negatif:" #

# -4> x> 3x-10 #

# => x <-4 dan x <5 #

# => x <-4 #

# "Bahagian kedua:" x = 3 => z = 2> 1 => "jumlah adalah" oo #

Mungkinkah fungsi yang berkurangan dalam selang yang diberikan sentiasa negatif terhadap selang yang sama? Terangkan.

Tidak. Pertama, perhatikan fungsi f (x) = -2 ^ x Jelas, fungsi ini berkurangan dan negatif (iaitu di bawah paksi-x) ke atas domainnya. Pada masa yang sama, pertimbangkan fungsi h (x) = 1-x ^ 2 sepanjang selang 0 <= x <= 1. Fungsi ini berkurang dalam selang tersebut. Walau bagaimanapun, ia tidak negatif. Oleh itu, fungsi tidak perlu negatif sepanjang selang ia berkurang.

Berapakah selang penumpuan sum_ {n = 0} ^ { infty} (cos x) ^ n?

Lihat di bawah. Menggunakan identiti polinomial (x ^ n-1) / (x-1) = 1 + x + x ^ 2 + cdots + x ^ (n-1) kita mempunyai abs x <1 lim_ (n-> oo) x ^ n-1) / (x-1) = 1 / (1-x) maka, untuk x ne k pi, k dalam ZZ kita mempunyai sum_ (k = 0) ^ oo (cos x) ^ k = (1-cos x)

Apakah selang penumpuan sum_ {n = 0} ^ {oo} ( frac {1} {x (1-x)}) ^ n?

X dalam (-oo, (1-sqrt5) / 2) U ((1 + sqrt5) / 2, oo) Kita boleh menyimpulkan bahawa sum_ {n = 0} ^ oo (1 / (x (1-x) ^ n ialah siri geometri dengan nisbah r = 1 / (x (1-x)). Sekarang kita tahu bahawa siri geometri berkumpul apabila nilai mutlak nisbah lebih kecil daripada 1: | r | <1 iff-1 <r <1 Jadi kita mesti menyelesaikan ketidaksamaan ini: 1 / (x (1-x)) <1 dan 1 / (x (1-x))> -1 Mari bermula dengan yang pertama: 1 / (x (1-x)) <1 iff 1 / (x (1-x) (x (1-x + x ^ 2) / (x (1-x)) <0 Kita dengan mudah boleh membuktikan bahawa pengangka sentiasa positif dan penyebutnya adalah negetif selang x dalam (-oo, 0)