Apakah cerun garis lurus 3y ^ 2 + 4xy + x ^ 2y = C, di mana C adalah pemalar sewenang-wenang, pada (2,5)?

Apakah cerun garis lurus 3y ^ 2 + 4xy + x ^ 2y = C, di mana C adalah pemalar sewenang-wenang, pada (2,5)?
Anonim

Jawapan:

# dy / dx = -20 / 21 #

Penjelasan:

Anda perlu mengetahui asas-asas pembezaan tersirat untuk masalah ini.

Kita tahu cerun garis tangen pada satu titik ialah derivatif; jadi langkah pertama adalah mengambil derivatif. Mari buat sekeping, bermula dengan:

# d / dx (3y ^ 2) #

Yang tidak terlalu berat; anda hanya perlu memohon peraturan rantai dan peraturan kuasa:

# d / dx (3y ^ 2) #

# -> 2 * 3 * y * dy / dx #

# = 6ydy / dx #

Sekarang, ke # 4xy #. Kami akan memerlukan kuasa, rantai, dan peraturan produk untuk yang berikut:

# d / dx (4xy) #

# -> 4d / dx (xy) #

# = 4 ((x) '(y) + (x) (y)') -> # Peraturan produk: # d / dx (uv) = u'v + uv '#

# = 4 (y + xdy / dx) #

# = 4y + 4xdy / dx #

Baiklah, akhirnya # x ^ 2y # (lebih banyak produk, kuasa, dan peraturan rantaian):

# d / dx (x ^ 2y) #

# = (x ^ 2) '(y) + (x ^ 2) (y)' #

# = 2xy + x ^ 2dy / dx #

Sekarang bahawa kami telah menemui semua derivatif kami, kami dapat menyatakan masalah sebagai:

# d / dx (3y ^ 2 + 4xy + x ^ 2y) = d / dx (C) #

# -> 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2dy / dx = 0 #

(Ingatlah terbitan konstan adalah #0#).

Kini kami mengumpul terma dengan # dy / dx # di satu pihak dan bergerak segala yang lain ke yang lain:

# 6ydy / dx + 4y + 4xdy / dx + 2xy + x ^ 2dy / dx = 0 #

# -> 6ydy / dx + 4xdy / dx + x ^ 2dy / dx = - (4y + 2xy) #

# -> dy / dx (6y + 4x + x ^ 2) = - (4y + 2xy) #

# -> dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #

Apa yang perlu dilakukan adalah pasangkan #(2,5)# untuk mencari jawapan kami:

# dy / dx = - (4y + 2xy) / (6y + 4x + x ^ 2) #

# dy / dx = - (4 (5) +2 (2) (5)) / (6 (5) +4 (2) + (2) ^ 2)

# dy / dx = - (20 + 20) / (30 + 8 + 4) #

# dy / dx = - (40) / (42) = - 20/21 #