Soalan # 0df97

Jawapan:

Jawapannya kepada 4 adalah # e ^ -2 #.

Penjelasan:

Masalahnya ialah:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Sekarang ini masalah yang sukar. Penyelesaiannya terletak pada pengiktirafan corak yang sangat berhati-hati. Anda mungkin ingat definisi # e #:

# e = lim_ (u-> oo) (1 + 1 / u) ^ u ~~ 2.718 … #

Jika kita boleh menulis semula had itu sebagai sesuatu yang hampir dengan definisi # e #, kami akan jawapan kami. Jadi, mari kita cuba.

Perhatikan bahawa #lim_ (x-> oo) ((2x + 2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) # bersamaan dengan:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4-2) / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Kita boleh memisahkan pecahan seperti itu:

#lim_ (x-> oo) ((2x + 4) / (2x + 4) -2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

Kami tiba di sana! Mari kita fikirkan #-2# dari bahagian atas dan bawah:

#lim_ (x-> oo) (1-2 / (2x + 4)) ^ (2x + 2) #

# = lim_ (x-> oo) (1 + ((- 2)) / (- 2 (-x-2))) ^ (2x + 2) #

# -> lim_ (x-> oo) (1+ (batalkan (-2)) / (batal (-2) (- x-2))) ^ (2x + 2)

# = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

Marilah kita menerapkan penggantian itu # u = -x-2-> x = -2-u #:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / (- x-2)) ^ (2x + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (2 (-2-u) + 2 #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 4-2u + 2) #

# = (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) #

Ciri-ciri eksponen berkata: # x ^ (a + b) = x ^ ax ^ b #

Jadi #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u-2) # bersamaan dengan:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2u) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

Ciri-ciri eksponen juga mengatakan bahawa: # x ^ (ab) = x ^ (a ^ b) #

Yang bermaksud ini akan mengurangkan lagi kepada:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) (1 + 1 / u) ^ (- 2)

# = lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2)

Oleh itu, #lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (u) = e #; dan menggunakan penggantian langsung pada hasil had kedua:

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2) #

# = 1 / (1 + 1 / oo) ^ (2) #

#=1/(1+0)^(2)#

#=1/1^(2)=1#

Jadi penyelesaiannya …

#lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ ((u) ^ (- 2)) lim_ (x-> oo) (1 + 1 / u) ^ (- 2)

# = (e) ^ - 2 (1) #

# = e ^ -2 #