Bagaimana menggunakan ujian derivatif pertama untuk menentukan extrema setempat y = sin x cos x?

Jawapan:

Ekstrema untuk # y = sin (x) cos (x) # adalah

# x = pi / 4 + npi / 2 #

dengan # n # integer relatif

Penjelasan:

Be #f (x) # fungsi yang mewakili variasi # y # dengan repsect to # x #.

Be #f '(x) # derivatif #f (x) #.

#f '(a) # adalah kemerahan #f (x) # lengkung di # x = a # titik.

Apabila cerun positif, lengkung semakin meningkat.

Apabila cerun negatif, lengkung berkurang.

Apabila cerun adalah batal, lengkung kekal pada nilai yang sama.

Apabila lengkung mencapai ekstrimum, ia akan berhenti meningkat / berkurang dan mula berkurangan / meningkat. Dengan kata lain, cerun akan berubah dari positif ke negatif - atau negatif kepada positif-lulus dengan nilai sifar.

Oleh itu, jika anda sedang mencari extrema fungsi, anda perlu mencari nilai nol derivatifnya.

N.B. Terdapat keadaan apabila derivatif adalah batal tetapi lengkung tidak mencapai ekstremum: ia dipanggil titik inflection. lengkung akan sesekali berhenti bertambah / berkurangan dan kemudian meneruskan peningkatan / penurunannya. Oleh itu, anda juga harus memeriksa jika tanda cerun berubah di sekitar nilai nolnya.

Contoh: #f (x) = sin (x) cos (x) = y #

#f '(x) = (dsin (x)) / dxcdotcos (x) + sin (x) cdot (dcos (x)

# = cos (x) cdotcos (x) + sin (x) cdot (-sin (x)) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x)

Sekarang kita mempunyai formula untuk #f '(x) #, kami akan mencari nilai-nilai nol:

#f '(x) = cos ^ 2 (x) -sin ^ 2 (x) = 0 rarr cos ^ 2 (x) = sin ^ 2 (x)

Penyelesaiannya adalah # pi / 4 + npi / 2 # dengan # n # integer relatif.

Jawapan:

Walaupun kami merancang untuk menggunakan ujian derivatif pertama, adalah wajar memerhatikannya #y = 1/2 sin (2x) #.

Penjelasan:

Setelah membuat pemerhatian itu, kita tidak perlu kalkulus untuk mencari ekstrem itu.

Kita boleh bergantung kepada pengetahuan kita mengenai trigonometri dan graf fungsi sinusoidal

Nilai maksimum (1/2) akan berlaku apabila # 2x = pi / 2 + 2pik # atau bila #x = pi / 4 + pik # untuk # k # integer.

Minimum berlaku pada #x = 3pi / 4 + pik # untuk # k # integer.

Kita boleh menggunakan derivatif, tetapi kita tidak memerlukannya.

Menggunakan Derivatif

Telah ditulis semula # y #, kita dapat dengan cepat melihatnya #y '= cos (2x) #

Jadi angka kritikal untuk # y # adalah # 2x = pi / 2 + 2pik # dan # 2x = (3pi) / 2 + 2pik #, (apabila kosina adalah #0#) atau

# x = pi / 4 + pik # dan # x = (3pi) / 4 + pik #

Memeriksa tanda #y '= cos (2x) #, kita akan mencari nilai maksimum pada set pertama nombor kritikal dan nilai minimum pada kedua.