Apakah extrema f (x) = (x ^ 2 -9) ^ 3 +10 pada selang [-1,3]?

Jawapan:

Kami mempunyai minima pada # x = 0 # dan titik infleksi pada # x = 3 #

Penjelasan:

Maksima adalah titik yang tinggi untuk mana fungsi meningkat dan kemudian jatuh lagi. Oleh itu, cerun tangen atau nilai derivatif pada ketika itu akan menjadi sifar.

Selanjutnya, apabila tangen di sebelah kiri maxima akan merayap ke atas, kemudian meratakan dan kemudian merayap ke bawah, cerun tangen akan terus berkurang, iaitu nilai derivatif kedua akan negatif.

Minima di sisi lain adalah titik rendah yang mana fungsi jatuh dan kemudian naik semula. Oleh itu, tangen atau nilai derivatif pada minima juga akan menjadi sifar.

Tetapi, sebagai tangen di sebelah kiri minima akan merosot ke bawah, kemudian meratakan dan kemudian merayap ke atas, cerun tangen akan terus meningkat atau nilai derivatif kedua akan positif.

Jika derivatif kedua adalah sifar kita mempunyai titik

Walau bagaimanapun, maxima dan minima ini boleh sama ada universal maxim atau minima untuk keseluruhan julat atau mungkin disetempatkan, iaitu maxima atau minima dalam jarak terhad.

Marilah kita lihat ini dengan merujuk kepada fungsi yang dijelaskan dalam soalan dan untuk ini, mari kita mula-mula membezakan #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #.

Derivatif pertama diberikan oleh #f '(x) = 3 (x ^ 2-9) ^ 2 * 2x #

= # 6x (x ^ 4-18x ^ 2 + 81) = 6x ^ 5-108x ^ 3 + 486x #.

Ini akan menjadi sifar # x ^ 2-9 = 0 # atau #x = + - 3 # atau #0#. Daripada ini sahaja #{0,3}# berada dalam julat #-1,3}#.

Oleh itu, maksima atau minima berlaku pada mata # x = 0 # dan # x = 3 #.

Untuk mengetahui sama ada ia adalah maksima atau minima, mari kita lihat perbezaan kedua yang ada #f '' (x) = 30x ^ 4-324x ^ 2 + 486 # dan dengan itu semasa

pada # x = 0 #, #f '' (x) = 486 # dan positif

pada # x = 3 #, #f '' (x) = 2430-2916 + 486 = 0 # dan merupakan titik infleksi.

Oleh itu, kami mempunyai minima tempatan pada # x = 0 # dan titik infleksi pada # x = 3 #

. graf {(x ^ 2-9) ^ 3 + 10 -5, 5, -892, 891}

Jawapan:

Minimum mutlak ialah #(-9)^3+10# (yang berlaku pada #0#), maksimum maksimum pada selang ialah #10#, (yang berlaku pada #3#)

Penjelasan:

Persoalannya tidak menentukan sama ada kita hendak mencari extrema relatif atau mutlak, jadi kita akan mendapati kedua-duanya.

Ekstrema relatif boleh berlaku hanya pada nombor kritikal. Nombor kritikal adalah nilai # x # yang berada dalam domain # f # dan di mana sama ada #f '(x) = 0 # atau #f '(x) tidak wujud. (Teorem Fermat)

Ekstrema mutlak pada selang tertutup boleh berlaku pada nombor-nombor kritikal dalam selang atau pada enpoints selang.

Kerana fungsi yang ditanya tentang sini adalah berterusan #-1,3#, Teorema Nilai Ekstrim memberi jaminan kepada kami bahawa # f # mesti mempunyai kedua-dua minimum mutlak dan mutlak maksimum pada selang.

Nombor kritikal dan extrema relatif.

Untuk #f (x) = (x ^ 2-9) ^ 3 + 10 #, kita dapati #f '(x) = 6x (x ^ 2-9) ^ 2 #.

Jelas sekali, # f '# tidak pernah wujud, jadi tidak ada nombor kritikal seperti itu.

Menyelesaikan # 6x (x ^ 2-9) ^ 2 = 0 # menghasilkan penyelesaian #-3#, #0#, dan #3#.

#-3# tidak dalam domain masalah ini, #-1,3# jadi kita hanya perlu semak #f (0) # dan #f (3) #

Untuk #x <0 #, kita ada #f '(x) <0 # dan

untuk #x> 0 #, kita ada #f '(x)> 0 #.

Jadi, dengan ujian derivatif pertama, #f (0) # adalah minimum relatif. #f (0) = -9 ^ 3 + 10 #.

Nombor kritikal lain dalam selang ialah #3#. Jika kita mengabaikan sekatan domain, kita dapati itu #f '(x)> 0 # untuk semua # x # berhampiran #3#. Jadi, fungsi itu bertambah pada jarak interval kecil yang mengandungi #3#. Oleh itu, jika kita berhenti pada #3# kita telah mencapai titik tertinggi dalam domain.

Terdapat tidak perjanjian sejagat sama ada untuk mengatakan itu #f (3) = 10 # adalah maksimum relatif untuk fungsi ini #-1,3#.

Sesetengah memerlukan nilai di kedua-dua belah pihak untuk menjadi kurang, yang lain memerlukan nilai dalam domain di kedua belah pihak untuk menjadi kurang.

Extreme Mutlak

Keadaan untuk extrema mutlak pada selang tertutup # a, b # adalah lebih mudah.

Cari nombor kritikal dalam selang tertutup. Panggil # c_1, c_2 # dan sebagainya.

Kirakan nilai #f (a), f (b), f (c_1), f (c_2) # dan sebagainya. Nilai terbesar ialah nilai maksimum pada selang waktu dan nilai paling minimum adalah minimum mutlak pada selang waktu.

Dalam soalan ini kita mengira #f (-1) = (-8) ^ 3 + 10 #, #f (-3) = 10 # dan #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 #.

Minimum ialah #f (0) = (-9) ^ 3 + 10 # dan

maksimum ialah #f (-3) = 10 #.