Bagaimana untuk menukar r = 7 / (5-5costheta) ke dalam bentuk segi empat tepat?

Jawapan:

Itulah pinggiran parabola # 70 x = 25 y ^ 2 - 49. #

Penjelasan:

Yang menarik kerana ia hanya menyimpang; sekurang-kurangnya penyebut adalah sifar. Ia adalah seksyen kerucut; pengasingan yang saya fikir menjadikannya parabola. Itu tidak penting, tetapi ia memberitahu kita bahawa kita boleh mendapatkan bentuk algebra yang bagus tanpa fungsi trig atau akar persegi.

Pendekatan terbaik adalah ke belakang; kami menggunakan kutub untuk penggantian segi empat tepat apabila nampaknya cara lain akan lebih langsung.

#x = r cos theta #

#y = r sin theta #

Jadi # x ^ 2 + y ^ 2 = r ^ 2 (cos ^ 2 theta + sin ^ 2 theta) = r ^ 2 #

# r = 7 / {5 - 5 cos theta} #

Kita lihat #r> 0. # Kita mulakan dengan membersihkan fraksi.

# 5 r - 5 r cos theta = 7 #

Kami ada #r cos theta # jadi itu # x. #

# 5 r - 5 x = 7 #

# 5r = 5 x + 7 #

Pemerhatian awal kami ialah #r> 0 # jadi squaring adalah OK.

# 25 r ^ 2 = (5x + 7) ^ 2 #

Sekarang kita mengganti lagi.

# 25 (x ^ 2 + y ^ 2) = (5x + 7) ^ 2 #

Secara teknikal kami telah menjawab soalan ini dan kami boleh berhenti di sini. Tetapi masih ada algebra yang perlu dilakukan, dan semoga ganjaran pada akhirnya: mungkin kita dapat menunjukkan ini sebenarnya parabola.

# 25 x ^ 2 + 25 y ^ 2 = 25x ^ 2 + 70 x + 49 #

# 25 y ^ 2 - 49 = 70 x #

# x = 1/70 (25 y ^ 2 - 49) = 1/70 (5y-7) (5y + 7) #

graf {x = 1/70 (25y ^ 2 - 49) -17.35, 50, -30, 30}

Ya, itulah parabola, diputar # 90 ^ circ #dari orientasi biasa.

Cek: Alpha eyball