Mari G menjadi kumpulan dan H G.Prove bahawa satu-satunya koset kanan H dalam G yang merupakan subring dari G adalah H itu sendiri.?

Jawapan:

Dengan mengandaikan soalan (seperti dijelaskan oleh komen) adalah:

Biarkan # G # menjadi kumpulan dan #H leq G #. Buktikan bahawa satu-satunya hak koset # H # dalam # G # iaitu subkumpulan # G # adalah # H # sendiri.

Penjelasan:

Biarkan # G # menjadi kumpulan dan #H leq G #. Untuk elemen #g in G #, koset kanan # H # dalam # G # didefinisikan sebagai:

# => Hg = {hg: h dalam H} #

Marilah kita anggap itu #Hg leq G #. Kemudian unsur identiti #e in Hg #. Walau bagaimanapun, kita tahu semestinya itu #e in H #.

Sejak # H # adalah koset yang betul dan dua koset kanan mestilah sama atau sama, kita boleh membuat kesimpulan #H = Hg #

=================================================

Sekiranya ini tidak jelas, mari kita cuba bukti menghapuskan simbol.

Biarkan # G # menjadi kumpulan dan biarkan # H # menjadi subkumpulan bagi # G #. Untuk elemen # g # kepunyaan # G #, hubungi # Hg # coset yang betul # H # dalam # G #.

Mari kita anggap bahawa koset yang betul # Hg # adalah subkumpulan bagi # G #. Kemudian unsur identiti # e # kepunyaan # Hg #. Walau bagaimanapun, kita sudah tahu bahawa elemen identiti # e # kepunyaan # H #.

Dua koset yang betul mestilah sama atau sama. Sejak # H # adalah koset yang betul, # Hg # adalah koset yang betul, dan kedua-duanya mengandungi # e #, mereka tidak boleh disjoint. Oleh itu, # H # dan # Hg # mestilah sama, atau #H = Hg #