Jawapan:
Lihat di bawah.
Penjelasan:
Memanggil # E-> f (x, y, z) = ax ^ 2 + oleh ^ 2 + cz ^ 2-1 = 0 #
Jika #p_i = (x_i, y_i, z_i) dalam E # kemudian
# ax_ix + by_iy + cz_iz = 1 # adalah satah tangen untuk # E # kerana mempunyai titik yang sama dan #vec n_i = (ax_i, by_i, cz_i) # adalah normal # E #
Biarkan # Pi-> alpha x + beta y + gamma z = delta # menjadi satah umum yang tersenarai # E # kemudian
# {(x_i = alpha / (delta)), (y_i = beta / (bdelta)), (z_i = gamma / (c delta)):} #
tetapi
# ax_i ^ 2 + by_i ^ 2 + cz_i ^ 2 = 1 # jadi
# alpha ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c = delta ^ 2 # dan persamaan satah tangen generik adalah
#alpha x + beta y + gamma z = pmsqrt (alpha ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gamma ^ 2 / c) #
Kini diberikan tiga pesawat ortogonal
# Pi_i-> alpha_i x + beta_i y + gamma_i z = delta_i #
dan memanggil #vec v_i = (alpha_i, beta_i, gamma_i) # dan membuat
#V = ((vec v_1), (vec v_2), (vec v_3) # # kita boleh memilih
#V cdot V ^ T = I_3 #
dan sebagai akibatnya
# V ^ Tcdot V = I_3 #
maka kita juga ada
{sum_i alpha_i ^ 2 = 1), (sum_i beta_i ^ 2 = 1), (sum_i gamma_i ^ 2 = 1), (sum_i alpha_i beta_i = 0), (sum_i alpha_i gamma_i = 0), (sum_i beta_i gamma_i = 0):} #
Sekarang tambah #sum_i (alpha_i x + beta_iy + gamma_iz) ^ 2 # kita ada
# x ^ 2sum_i alpha_i ^ 2 + y ^ 2sum_i beta_i ^ 2 + z ^ 2sum_i gamma_i ^ 2 + 2 (xy sum (alpha_i beta_i) + xzsum (alpha_i gamma_i) + sum (beta_i gamma_i)) = sum_i delta_i ^
dan akhirnya
# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = sum_i delta_i ^ 2 #
tetapi #sum_i delta_i ^ 2 = sum_ialpha_i ^ 2 / a + sum_ibeta_i ^ 2 / b + sum_igamma_i ^ 2 / c = 1 / a + 1 / b + 1 / c #
jadi
# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 / a + 1 / b + 1 / c #
yang merupakan jalan yang dilalui oleh titik persimpangan tiga pesawat tangen serentak bersama ke ellipsoid.
Melampirkan plot untuk ellipsoid
# x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 1 #
