Bagaimana untuk menyelesaikan dengan integrasi?

Jawapan:

# Q = (15 / 2,0) #

# P = (3,9) #

# "Kawasan" = 117/4 #

Penjelasan:

Q ialah x-intersepsi garisan # 2x + y = 15 #

Untuk mencari titik ini, mari # y = 0 #

# 2x = 15 #

# x = 15/2 #

Jadi # Q = (15 / 2,0) #

P adalah titik intersepsi antara lengkung dan garisan.

# y = x ^ 2 "" (1) #

# 2x + y = 15 "" (2) #

Sub #(1)# ke dalam #(2)#

# 2x + x ^ 2 = 15 #

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0 #

# x = -5 # atau # x = 3 #

Dari graf, koordinat x P positif, jadi kita boleh menolak # x = -5 #

# x = 3 #

# y = x ^ 2 #

#=3^2#

#=9#

#:. P = (3,9) #

graf {(2x + y-15) (x ^ 2-y) = 0 -17.06, 18.99, -1.69, 16.33}

Sekarang untuk kawasan ini

Untuk mencari jumlah kawasan di rantau ini, kita boleh mencari dua kawasan dan menambahnya bersama.

Ini akan menjadi kawasan di bawah # y = x ^ 2 # dari 0 hingga 3, dan kawasan di bawah garis dari 3 hingga 15/2.

# "Kawasan di bawah lengkung" = int_0 ^ 3 x ^ 2dx #

# = 1 / 3x ^ 3 _0 ^ 3 #

# = 1 / 3xx3 ^ 3-0 #

#=9#

Kita boleh mengusahakan kawasan garis melalui integrasi, tetapi lebih mudah untuk merawatnya seperti segitiga.

# "Kawasan di bawah baris" = 1 / 2xx9xx (15 / 2-3) #

# = 1 / 2xx9xx9 / 2 #

#=81/4#

#: "luas kawasan rantau yang berlorek" = 81/4 + 9 #

#=117/4#

Jawapan:

Untuk 3 & 4

Tom selesai 10

Penjelasan:

3

# int_0 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 1 + int_1 ^ 5) f (x) dx #

#:. int_1 ^ 5 f (x) dx = (int_0 ^ 5 - int_0 ^ 1) f (x) dx #

#= 1- (-2) = 3#

4

#int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx = (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#:. int_ (3) ^ (- 2) f (x) dx = -int _ (- 2) ^ 3 f (x) dx #

# = - (int _ (- 2) ^ 1 + int_1 ^ 3) f (x) dx #

#= - (2 - 6) = 4#

Jawapan:

Lihat di bawah:

Amaran: Jawapan yang panjang!

Penjelasan:

Untuk (3):

Menggunakan harta:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

Oleh itu:

# int_0 ^ 5 f (x) dx = int_0 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 5 f (x) dx #

# 1 = -2 + x #

# x = 3 = int_1 ^ 5 f (x) dx #

Untuk (4):

(benda yang sama)

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# int_-2 ^ 3 f (x) dx = int_-2 ^ 1 f (x) dx + int_1 ^ 3 f (x) dx #

# x = 2 + (- 6) #

# x = -4 = int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Walau bagaimanapun, kita mesti menukar had yang penting, jadi:

# int_3 ^ -2 f (x) dx = -int_-2 ^ 3 f (x) dx #

Jadi:# int_3 ^ -2 f (x) dx = - (- 4) = 4 #

Untuk 10 (a):

Kami mempunyai dua fungsi yang berpotongan pada # P #, jadi pada # P #:

# x ^ 2 = -2x + 15 #

(Saya menghidupkan fungsi garisan ke dalam bentuk cerun)

# x ^ 2 + 2x-15 = 0 #

# (x + 5) (x-3) = 0 #

Jadi # x = 3 # seperti yang kita ada di sebelah kanan # y # paksi, jadi #x> 0 #.

(memasukkan # x = 3 # ke mana-mana fungsi)

# y = -2x + 15 #

# y = -2 (3) + 15 #

# y = 15-6 = 9 #

Jadi koordinat # P # adalah #(3,9)#

Untuk # Q #, garisan itu # y = -2x + 15 # memotong # y #-Allah, jadi # y = 0 #

# 0 = -2x + 15 #

# 2x = 15 #

# x = (15/2) = 7.5 #

Jadi # Q # terletak di #(7.5, 0)#

Untuk 10 (b).

Saya akan membina dua integral untuk mencari kawasan tersebut. Saya akan menyelesaikan integral secara berasingan.

Kawasan ini ialah:

# int_a ^ b f (x) dx = int_a ^ c f (x) dx + int_c ^ b f (x) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

(Menyelesaikan integral pertama)

# int_O ^ P (x ^ 2) dx = int_0 ^ 3 (x ^ 2) dx = x ^ 3/3 #

(menggantikan had ke dalam ungkapan bersepadu, ingat:

Had ke atas untuk mencari nilai integral)

# 3 ^ 3/3 -0 = 9 = int_O ^ P (x ^ 2) dx #

(menyelesaikan integral kedua)

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = int_3 ^ 7.5 (-2x + 15) dx = (- 2x ^ 2) / 2 + 15x = - x ^ 2 + 15x #

(had pengganti: Upper-lower)

#-(15/2)^2+15(15/2)--3^2+15(3)#

#(-225/4)+(225/2)+9-45=(-225/4)+(450/4)+-36= (225/4)+(-144/4)=(81/4)#

# int_P ^ Q (-2x + 15) dx = (81/4) #

# int_O ^ Q f (x) dx = int_O ^ P (x ^ 2) dx + int_P ^ Q (-2x + 15) dx #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = int_O ^ Q f (x) dx = 9 + (81/4) #

# A = (36/4) + (81/4) #

# A = (117/4) #