Selesaikan sepenuhnya: 1 - 2sin ^ 2 20 °?

Ingatlah itu

#cos (2x) = 1 - 2sin ^ 2x #

Oleh itu

#cos (40) = 1 - 2sin ^ 2 (20) #

Oleh itu ungkapan kami bersamaan dengan #cos (40) #.

Semoga ini membantu!

Jawapan:

# 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ = cos 40 ^ circ #

Penjelasan:

"Sepenuhnya" adalah matlamat kabur dalam trig, seperti yang akan kita lihat.

Pertama, titik permasalahan ini adalah mengenali bentuk sinus rumus sudut ganda kosinus:

#cos (2 theta) = cos (theta + theta) = cos theta cos theta - sin theta sin theta ## = cos ^ 2 theta - sin ^ 2 theta = (1- sin ^ 2 theta) - sin ^ 2 theta #

#cos (2 theta) = 1 - 2 sin ^ 2 theta #

Menulis ini untuk # theta = 20 ^ circ #, #cos (2 (20 ^ circ)) = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

#cos 40 ^ circ = 1 - 2 sin ^ 2 20 ^ circ #

Semestinya #cos 40 ^ circ # adalah hasil "dipermudahkan sepenuhnya."

Itulah jawapannya. Monzur mencadangkan saya memberikan kaveat sebelum bahagian seterusnya. Ia benar-benar pilihan; sila terus membaca sekiranya anda ingin mengetahui lebih lanjut #cos 40 ^ circ # dan hentikan bacaan jika tidak.

#cos 40 ^ circ # dipermudahkan sepenuhnya, kerana tidak ada ekspresi yang lebih baik yang boleh kita tulis untuknya daripada #cos 40 ^ circ #. # 40 ^ circ # tidak boleh dibina dengan lurus dan kompas. Ini bermakna fungsi jejaknya bukan hasil daripada integer yang terdiri daripada penambahan, pengurangan, pendaraban dan bahagian dan akar persegi.

#cos 40 ^ circ # sebenarnya akar persamaan polinom dengan koefisien integer. # theta = 40 ^ circ # memenuhi persamaan #cos (44 theta) = - cos (46 theta) #. Jika #x = cos theta, # itu #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x), # Dimanakah # T #s adalah polinomial Chebyshev yang pertama. Daripada rumus sudut dua dan tiga kali ganda, mereka ialah formula 44 kali dan 46 kali sudut.

Jadi #cos (40 ^ circ) # adalah salah satu daripada empat puluh enam akar:

# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 38958828003262464 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #

Itu tidak mudah sama sekali.