X (P (x) Q (x)) xP (x) xQ (x) x (P (x) ). Tolong bantu saya keluar dengan kenyataan pertama?

Untuk memahami kenyataan ini, kita mesti terlebih dahulu memahami notasi yang digunakan.

• # AA # - untuk semua - Simbol ini menunjukkan bahawa sesuatu berlaku bagi setiap contoh dalam satu set. Jadi, apabila kita menambah pembolehubah # x #, # AAx # bermaksud bahawa sesetengah pernyataan terpakai kepada setiap nilai atau item yang mungkin kami boleh ganti # x #.

• #P (x), Q (x) # - cadangan - Ini adalah cadangan logik mengenai # x #, iaitu, mereka mewakili kenyataan tentang # x # yang sama ada benar atau salah bagi mana-mana tertentu # x #.

• # # - dan - Simbol ini membolehkan kombinasi pelbagai proposisi. Hasil gabungan adalah benar apabila kedua-dua cadangan kembali benar, dan sebaliknya.

• # # - atau - Simbol ini juga membolehkan kombinasi pelbagai proposisi. Hasil gabungan adalah palsu apabila kedua proposisi kembali palsu, dan sebaliknya benar.

• # # - jika dan hanya jika - Simbol ini juga membolehkan kombinasi pelbagai proposisi. Hasil gabungan adalah benar ketika kedua-dua proposisi mengembalikan nilai kebenaran yang sama untuk semua # x #, dan sebaliknya.

Dengan ini, kita boleh menterjemahkan kenyataan itu. Kenyataan pertama, secara langsung diungkapkan, akan berbunyi seperti "Untuk semua x, P x dan Q x jika dan hanya jika untuk semua x, P x, dan untuk semua x, Q x."

Sesetengah tambahan kecil dan pengubahsuaian menjadikannya lebih mudah difahami.

"Untuk semua x, P dan Q adalah benar untuk x jika dan hanya jika P adalah benar untuk semua x dan Q adalah benar untuk semua x."

Pernyataan ini adalah tautologi, iaitu benar tanpa mengira apa yang kita ganti untuk P atau Q. Kita dapat menunjukkannya dengan menunjukkan bahawa cadangan sebelum bermaksud satu selepas itu, dan sebaliknya.

Bermula dari kenyataan terdahulu, kita ada untuk setiap # x #, #P (x) Q (x) # betul. Dengan definisi kami di atas, ini bermakna bahawa untuk setiap # x #, #P (x) # benar dan #Q (x) # betul. Ini menunjukkan bahawa untuk apa-apa # x #, #P (x) # benar dan untuk apa-apa # x #, #Q (x) # benar, iaitu kenyataan yang muncul selepas.

Jika kita mula dari kenyataan yang muncul selepas, maka kita tahu bahawa untuk apa-apa # x #, #P (x) # benar dan untuk apa-apa # x #, #Q (x) # betul. Kemudian untuk semua # x #, #P (x) # dan #Q (x) # kedua-duanya adalah benar, bermakna untuk semua # x #, #P (x) Q (x) # betul. Ini membuktikan bahawa kenyataan pertama selalu benar.

Kenyataan kedua adalah palsu. Tanpa melalui proses penuh seperti di atas, kita boleh menunjukkan bahawa kedua-dua cadangan di kedua-dua belah pihak tidak selalu mempunyai nilai kebenaran yang sama. Contohnya, katakan bahawa separuh daripada semua mungkin # x #, #P (x) # benar dan #Q (x) # adalah palsu, dan untuk yang lain, #Q (x) # benar dan #P (x) # adalah salah.

Dalam kes ini, bagi semua # x #, sama ada #P (x) # atau #Q (x) # benar, cadangan itu #AAx (P (x) Q (x)) # benar (lihat uraian di atas). Tetapi, kerana ada nilai untuk # x # untuk yang mana #P (x) # adalah palsu, cadangan itu #AAxP (x) # adalah salah. Begitu juga, #AAxQ (x) # juga salah, maksudnya #AAxP (x) AAxQ (x) # adalah salah.

Oleh kerana kedua-dua proposisi mempunyai nilai-nilai kebenaran yang berbeza, dengan jelas kebenarannya tidak menjamin kebenaran yang lain, dan dengan itu bergabung dengan mereka dengan menghasilkan proposisi baru yang salah.