Nombor 90 ^ 9 mempunyai 1900 pembahagi integral yang positif. Berapakah bilangan ini ialah bilangan bulat bilangan bulat?

Jawapan:

Wow - saya dapat menjawab soalan saya sendiri.

Penjelasan:

Ternyata pendekatan itu adalah gabungan gabungan dan teori nombor. Kami bermula dengan pemfaktoran #90^9# ke dalam faktor utama:

#90^9=(5*3*3*2)^9#

#=(5*3^2*2)^9#

#=5^9*3^18*2^9#

Silap mata di sini adalah untuk mengetahui bagaimana untuk mencari dataran bulat, yang agak mudah. Kuadrat bilangan bulat boleh dijana dalam pelbagai cara dari penaburan ini:

#5^9*3^18*2^9#

Kita dapat melihatnya #5^0#, sebagai contoh, adalah satu segi empat daripada integer dan pembahagi #90^9#; Begitu juga, #5^2#, #5^4#,#5^6#, dan #5^8# semuanya memenuhi syarat-syarat ini juga. Oleh itu, kita mempunyai 5 cara yang mungkin untuk mengkonfigurasi pembahagi #90^9# iaitu segi empat sama dengan integer, menggunakan 5s sahaja.

Sebab yang sama berlaku untuk #3^18# dan #2^9#. Setiap kuasa faktor utama ini - 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18 (10 total) untuk 3 dan 0, 2, 4, 6, 8 (5 total) adalah persegi yang sempurna yang merupakan pembahagi #90^9#. Tambahan pula, sebarang gabungan daripada pembahagi utama yang mempunyai kuasa juga memenuhi syarat. Contohnya, #(2^2*5^2)^2# adalah kuadrat integer, seperti yang ada #(3^8*2^4)^2#; dan keduanya, terdiri daripada pembahagi #90^9#, juga penaja #90^9#.

Jadi nombor yang dikehendaki bagi segi empat bilangan bulat yang divisors #90^9# diberikan oleh #5*10*5#, yang merupakan pendaraban pilihan yang mungkin untuk setiap faktor utama (5 untuk 5, 10 untuk 3, dan 5 untuk 2). Ini sama dengan #250#, yang merupakan jawapan yang betul.

Nombor 36 mempunyai harta bahawa ia boleh dibahagikan dengan digit dalam posisi yang, kerana 36 dapat dilihat oleh 6. Nombor 38 tidak mempunyai harta ini. Berapa banyak bilangan antara 20 dan 30 mempunyai harta ini?

22 boleh dibahagikan dengan 2. Dan 24 dibahagi dengan 4. 25 dibahagi dengan 5. 30 dibahagikan dengan 10, jika itu penting. Itu sahaja - tiga pasti.

Jumlah tiga nombor adalah 98. Nombor ketiga ialah 8 kurang daripada yang pertama. Nombor kedua ialah 3 kali ketiga. Apakah nombor-nombor itu?

N_1 = 26 n_2 = 54 n_3 = 18 Biarkan ketiga-tiga nombor dilabel sebagai n_1, n_2, dan n_3. "Jumlah tiga nombor adalah 98" [1] => n_1 + n_2 + n_3 = 98 "Nombor ketiga ialah 8 kurang daripada yang pertama" [2] => n_3 = n_1 - 8 "Nombor kedua ialah 3 kali ketiga "[3] => n_2 = 3n_3 Kami mempunyai 3 persamaan dan 3 tidak diketahui, jadi sistem ini mungkin mempunyai solusi yang dapat kita selesaikan. Mari selesaikannya. Pertama, mari kita ganti [2] -> [3] n_2 = 3 (n_1 - 8) [4] => n_2 = 3n_1 - 24 Sekarang kita boleh menggunakan [4] dan [2] (3n_1-24) + (n_1-8) = 98 n_1 + 3n_1 - 24 + n_1 - 8

Apakah yang terkecil 3 bilangan bilangan bulat positif berturut-turut jika hasil dua bilangan bulat yang lebih kecil adalah 5 kurang daripada 5 kali bilangan bulat terbesar?

Biarkan nombor terkecil x, dan kedua dan ketiga ialah x + 1 dan x + 2. (x) (x + 1) = (5 (x + 2)) - 5 x ^ 2 + x = 5x + 5 x ^ 2 - 4x - 5 = 0 (x - 5) (x + 1) = 0 x = 5 dan-1 Oleh kerana nombor harus positif, bilangan terkecil adalah 5.