Bagaimana anda membuktikan sec (x) + 1 + ((1-tan ^ 2 (x)) / (sec (x) -1)) = cos (x) / (1-cos (x))?

Jawapan:

Adakah beberapa pendaraban konjugat, menggunakan identiti trig, dan memudahkan. Lihat di bawah.

Penjelasan:

Ingat Identiti Pythagorean # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #. Bahagikan kedua belah pihak # cos ^ 2x #:

# (sin ^ 2x + cos ^ 2x) / cos ^ 2x = 1 / cos ^ 2x #

# -> tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #

Kami akan menggunakan identiti penting ini.

Mari fokus pada ungkapan ini:

# secx + 1 #

Perhatikan bahawa ini bersamaan dengan # (secx + 1) / 1 #. Majukan bahagian atas dan bawah oleh # secx-1 # (teknik ini dikenali sebagai pendaraban konjugasi):

# (secx + 1) / 1 * (secx-1) / (secx-1) #

# -> ((secx + 1) (secx-1)) / (secx-1) #

# -> (sec ^ 2x-1) / (secx-1) #

Dari # tan ^ 2x + 1 = sec ^ 2x #, kita lihat itu # tan ^ 2x = sec ^ 2x-1 #. Oleh itu, kita boleh menggantikan pengangka dengan # tan ^ 2x #:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) #

Masalah kami sekarang berbunyi:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Kami mempunyai penyebut biasa, jadi kami boleh menambah pecahan di sebelah kiri:

# (tan ^ 2x) / (secx-1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> (tan ^ 2x + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

The tangents cancel:

# (batalkan (tan ^ 2x) + 1-batalkan (tan ^ 2x)) / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Meninggalkan kami dengan:

# 1 / (secx-1) = cosx / (1-cosx) #

Sejak # secx = 1 / cosx #, kita boleh menulis semula ini sebagai:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

Menambah pecahan dalam penyebut, kita lihat:

# 1 / (1 / cosx-1) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / (1 / cosx- (cosx) / (cosx)) = cosx / (1-cosx) #

# -> 1 / ((1-cosx) / cosx) = cosx / (1-cosx) #

Menggunakan harta itu # 1 / (a / b) = b / a #, kami ada:

# cosx / (1-cosx) = cosx / (1-cosx) #

Dan itu melengkapkan bukti.

# LHS = (secx + 1) + (1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = ((secx + 1) (secx-1) + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = (sec ^ 2x-1 + 1-tan ^ 2x) / (secx-1) #

# = cosx / cosx * ((sec ^ 2x-tan ^ 2x)) / ((secx-1)) #

#color (merah) ("meletakkan", sec ^ 2x-tan ^ 2x = 1) #

# = cosx / (cosxsecx-cosx) #

#color (merah) ("meletakkan", cosxsecx = 1) #

# = cosx / (1-cosx) = RHS #