Apakah penyelesaian untuk persamaan pembezaan dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2?

Jawapan:

Penyelesaian Am ialah:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Penjelasan:

Kami ada:

# dy / dt = e ^ t (y-1) ^ 2 #

Kita boleh mengumpul istilah untuk pembolehubah yang sama:

# 1 / (y-1) ^ 2 dy / dt = e ^ t #

Yang merupakan Persamaan Pembezaan bukan linear biasa Orde Pertama, supaya kita dapat "memisahkan pembolehubah" untuk mendapatkan:

# int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

Kedua-dua integral adalah fungsi standard, jadi kita boleh menggunakan pengetahuan itu untuk mengintegrasikan secara langsung:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C #

Dan kita dapat dengan mudah menyusun semula # y #:

# - (y-1) = 1 / (e ^ t + C) #

#:. 1-y = 1 / (e ^ t + C) #

Memimpin kepada Penyelesaian Am:

# y = 1-1 / (e ^ t + C) #

Jawapan:

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #

Penjelasan:

Ini adalah persamaan pembezaan yang boleh dibezakan, yang bermaksud ia boleh ditulis dalam bentuk:

# dy / dx * f (y) = g (x) #

Ia boleh diselesaikan dengan mengintegrasikan kedua-dua pihak:

#int f (y) dy = int g (x) dx #

Dalam kes kita, kita perlu memisahkan integral ke dalam bentuk yang betul. Kita boleh melakukan ini dengan membahagikan kedua belah pihak # (y-1) ^ 2 #:

# dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ tcancel ((y-1) ^ 2 / (y-1) ^ 2) #

# dy / dt * 1 / (y-1) ^ 2 = e ^ t #

Sekarang kita boleh mengintegrasikan kedua-dua belah pihak:

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = int e ^ t dt #

#int 1 / (y-1) ^ 2 dy = e ^ t + C_1 #

Kami boleh menyelesaikan integral kiri dengan penggantian # u = y-1 #:

#int 1 / u ^ 2 du = e ^ t + C_1 #

#int u ^ -2 du = e ^ t + C_1 #

# u ^ -1 / (- 1) + C_2 = e ^ t + C_1 #

Menyusun semula (dan menggabungkan pemalar) memberikan:

# -1 / (y-1) = e ^ t + C_3 #

Maju kedua belah pihak # y-1 #:

# -1 = (e ^ t + C_3) (y-1) #

Bahagikan kedua belah pihak # e ^ t + C_3 #:

# -1 / (e ^ t + C_3) = y-1 #

# y = -1 / (e ^ t + C) + 1 #