Bagaimanakah anda menemui isipadu rantau yang dilampirkan oleh lengkung y = x ^ 2 - 1 dan y = 0 diputar di sekitar garisan x = 5?

Jawapan:

# V = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = pi (85 + 1/3) #

Penjelasan:

Untuk mengira isipadu ini, kami akan memotongnya ke dalam kepingan (iris yang sangat tipis).

Kami membayangkan rantau ini, untuk membantu kami dengan ini, saya telah melampirkan graf di mana rantau ini adalah bahagian di bawah lengkung. Kita ambil perhatian bahawa # y = x ^ 2-1 # melintasi garisan # x = 5 # di mana # y = 24 # dan bahawa ia melintasi garisan # y = 0 # di mana # x = 1 # graf {x ^ 2-1 1, 5, -1, 24}

Apabila memotong rantau ini dalam kepingan mendatar dengan ketinggian # dy # (ketinggian yang sangat kecil). Panjang kepingan ini sangat bergantung pada koordinat y. untuk mengira panjang ini kita perlu mengetahui jarak dari satu titik # (y, x) # di talian # y = x ^ 2-1 # ke titik (5, y). Sudah tentu ini # 5-x #, tetapi kita mahu tahu bagaimana ia bergantung kepada # y #. Sejak # y = x ^ 2-1 #, kami tahu # x ^ 2 = y + 1 #, kerana kita ada #x> 0 # untuk rantau ini kami menarik minat, # x = sqrt (y + 1) #, maka jarak ini bergantung kepada # y #, yang akan kami nyatakan sebagai #r (y) # diberikan oleh #r (y) = 5-sqrt (y + 1) #.

Sekarang kita berputar di kawasan ini # x = 5 #, ini bermakna setiap kepingan menjadi silinder dengan ketinggian # dy # dan jejari #r (y) #, oleh itu jumlah #pir (y) ^ 2dy #. Apa yang perlu kita buat sekarang ialah menambah jumlah kecil ini dengan integrasi. Kita ambil perhatian bahawa # y # pergi dari #0# kepada #24#.

# V = int_0 ^ 24pir (y) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (5-sqrt (y + 1)) ^ 2dy = piint_0 ^ 24 (25-10sqrt (y-1) + y + 1) dy = piint_0 ^ (26-10sqrt (y + 1) + y) dy = pi 26y-20/3 (y + 1) ^ (3/2) + y ^ 2 / / 3 (25) ^ (3/2) + 20/3 + 24 ^ 2/2) = pi (85 + 1/3) #.