Bagaimana untuk mencari derivatif pertama f (x) = 2 sin (3x) + x?

Jawapan:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Penjelasan:

Membezakan setiap istilah:

# (d (x)) / dx = 1 #

Menggunakan peraturan rantai untuk istilah kedua yang kami ada:

#g (x) = h (k (x)) => g '(x) = k' (x) h '(k (x)

Dengan:

#h (u) = 2sin (u) => h '(u) = 2cos (u) #

#k (x) = 3x => k '(x) = 3 #

#g (x) = 2sin (3x) => g '(x) = 6cos (3x) #

Bersama kita mempunyai:

#f '(x) = 6cos (3x) + 1 #

Jawapan:

Kami diminta untuk mencari derivatif #f (x) = 2sin (3x) + x # menggunakan takrif: #f '(x) = lim_ (hrarr0) (f (x + h) - f (x)) / (h) #.

Penjelasan:

Kita perlu menilai:

#lim_ (hrarr0) (overbrace (2sin (3 (x + h)) + (x + h)) ^ (f (x + h)) - overbrace (2sin (3x) + x x)) / h #.

Ini akan menjadi rumit. Untuk menjadikannya kurang rumit, mari kita pecahkan ungkapan menjadi dua bahagian yang lebih mudah. Kami akan mengambil bahagian trigonometri dan bahagian linear secara berasingan.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h)

Saya akan mengandaikan bahawa anda boleh menunjukkan bahawa had kedua adalah #1#. Had yang lebih mencabar adalah had yang melibatkan fungsi trigonometri.

#lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h = 2lim_ (hrarr0) (sin (3x + 3h) - sin3x)

# = 2lim_ (hrarr0) (overbrace ((sin3xcos3h + cos3xsin3h)) ^ sin (3x + 3h) - sin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3xcos3x -sin3x + cos3xsin3x) / h #

# = 2lim_ (hrarr0) ((sin3x (cos3h - 1)) / h + (cos3xsin3h) / h) #

# = 2lim_ (hrarr0) (sin3x (cos3h - 1) / h + cos3x (sin3h) / h) #

# = 2 lim_ (hrarr0) sin3x lim_ (hrarr0) (cos3h - 1) / h + lim_ (hrarr0) cos3x lim_ (hrarr0) (sin3h) / h #

(= (Hrarr0) (sin3h) / (3h)) #

# = 2 (sin3x) (3 * 0) + (cos3x) (3 * 1) #

# = 2 (3cos3x) = 6cos (3x) #

Oleh itu, apabila kita meletakkan kedua-dua bahagian itu, kita dapat:

#f '(x) = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) + (x + h) - 2sin (3x)

# = lim_ (hrarr0) (2sin (3 (x + h)) - 2sin3x) / h + lim_ (hrarr0) ((x + h)

# = 6cos (3x) + 1 #