Bagaimana anda mencari extrema untuk g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)?

Jawapan:

#g (x) # tidak mempunyai maksimum dan minimum global dan tempatan dalam # x = -1 #

Penjelasan:

Perhatikan bahawa:

# (1) "" x ^ 2 + 2x + 5 = x ^ 2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1) ^ 2 + 4> 0 #

Jadi fungsi itu

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #

ditakrifkan untuk setiap #x dalam RR #.

Selain sebagai #f (y) = sqrty # adalah fungsi peningkatan monoton, maka mana-mana ekstrimum untuk #g (x) # juga merupakan permulaan untuk:

#f (x) = x ^ 2 + 2x + 5 #

Tetapi ini merupakan polinomial kedua dengan pekali positif utama, oleh itu ia tidak mempunyai maksimum dan minimum tempatan tunggal.

Dari #(1)# kita dapat dengan mudah melihat bahawa:

# (x + 1) ^ 2> = 0 #

dan:

# x + 1 = 0 #

hanya bila # x = -1 #, maka:

#f (x)> = 4 #

dan

#f (x) = 4 #

hanya untuk # x = -1 #.

Akibatnya:

#g (x)> = 2 #

dan:

#g (x) = 2 #

hanya untuk # x = -1 #.

Kita boleh membuat kesimpulan itu #g (x) # tidak mempunyai maksimum dan minimum global dan tempatan dalam # x = -1 #

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #, # x ## dalam ## RR #

Kita perlu # x ^ 2 + 2x + 5> = 0 #

#Δ=2^2-4*1*5=-16<0#

# D_g = RR #

# AA ## x ## dalam ## RR #:

#g '(x) = ((x ^ 2 + 2x + 5)') / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (2x + 2) / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (x + 1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)> 0) #

#g '(x) = 0 # #<=># # (x = -1) #

• Untuk #x <-1 # kita ada #g '(x) <0 # jadi # g # sangat ketat dalam # (- oo, -1 #

• Untuk #x> ##-1# kita ada #g '(x)> 0 # jadi # g # semakin ketat # - 1, + oo) #

Oleh itu #g (x)> = g (-1) = 2> 0 #, # AA ## x ## dalam ## RR #

Akibatnya # g # mempunyai minimum global pada # x_0 = -1 #, #g (-1) = 2 #