Apakah titik ekstrema dan pelana f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?

Jawapan:

# {: ("Titik Kritikal", "Kesimpulan"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "pelana"), ((-1,2) "), ((-5 / 3,0)," maks "):} #

Penjelasan:

Teori untuk mengenal pasti extrema # z = f (x, y) # adalah:

Selesaikan persamaan kritikal serentak

# (separa f) / (separa x) = (separa f) / (separa y) = 0 # (iaitu # z_x = z_y = 0 #)
Evaluasi #f_ (x x), f_ (yy) dan f_ (xy) (= f_ (yx)) # pada setiap titik kritikal ini. Oleh itu, menilai # Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # pada setiap titik ini
Tentukan sifat extrema;

# {: (Delta> 0, "Terdapat minimum jika" f_ (xx) <0), (dan "maksimum jika" f_ (yy)> 0), (Delta <0,), (Delta = 0, "Analisis lebih lanjut diperlukan"):} #

Jadi kami mempunyai:

# f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2 #

Marilah kita cari derivatif separa pertama:

# (separa f) / (separa x) = 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x #

# (separa f) / (separa y) = 2xy + 2y #

Jadi persamaan kritikal kami ialah:

# 6x ^ 2 + y ^ 2 + 10x = 0 #

# 2xy + 2y = 0 #

Daripada persamaan kedua yang kita ada:

# 2y (x + 1) = 0 => x = -1, y = 0 #

Subs # x = -1 # ke persamaan pertama dan kami dapat:

# 6 + y ^ 2-10 = 0 => y ^ 2 = 4 => y = + - 2 #

Subs # y = 0 # ke persamaan pertama dan kami dapat:

# 6x ^ 2 + 0 ^ 2 + 10x = 0 => 2x (3x + 5) = 0 => x = -5 / 3,0 #

Dan jadi kami ada empat mata kritikal dengan koordinat;

# (-1,-2), (-1,2), (0,0), (-5/3,0) #

Oleh itu, kini mari kita lihat derivatif separa kedua supaya kita dapat menentukan sifat titik kritikal:

# (separa ^ 2f) / (separa x ^ 2) = 12x + 10 #

# (separa ^ 2f) / (separa y ^ 2) = 2x + 2 #

# (sebahagian ^ 2f) / (separa x separa y) = 2y (((separa ^ 2f) / (sebahagian y sebahagian p)

Dan kita mesti mengira:

# Delta = (parsial ^ 2f) / (parsial x ^ 2) (parsial ^ 2f) / (parsial y ^ 2) - ((parsial ^ 2f) / (parsial x parsial y)

pada setiap titik kritikal. Nilai derivatif separa kedua, # Delta #, dan kesimpulan adalah seperti berikut:

# {: ("Titik Kritikal", (partial ^ 2f) / (parsial x ^ 2), (parsial ^ 2f) / (parsial y ^ 2) "Kesimpulan"), (0,0), 10,2,0, gt 0, f_ (xx)> 0 => "min"), ((-1, -2), - 2,0,4, lt 0, "pelana"), ((-1,2), - 2,0,4, lt 0, "pelana"), ((-5 / 3,0), - 10, -4 / 3,0, gt 0, f_ (xx) <0 => "max"):} #

Kita dapat melihat mata kritikal ini jika kita melihat plot 3D: