Bagaimana anda mengintegrasikan f (x) = (3x ^ 2-x) / ((x ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) menggunakan pecahan separa?

Jawapan:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)

Penjelasan:

Oleh kerana penyebut sudah dipertimbangkan, semua yang kita perlukan untuk melakukan pecahan separa adalah menyelesaikan pemalar:

(X ^ 2 + 2) (x-3) (x-7)) = (Ax + B) / (x ^ 2 + 2) + C / (x-3) + D / (x-7) #

Perhatikan bahawa kita memerlukan kedua-dua # x # dan istilah tetap di bahagian paling banyak kiri kerana pengangka sentiasa 1 darjah lebih rendah daripada penyebut.

Kita boleh melipatgandakan oleh penyebut bahagian tangan kiri, tetapi itu akan menjadi sejumlah besar kerja, jadi kita boleh sebaliknya menjadi pintar dan menggunakan kaedah penutupan.

Saya tidak akan meneruskan proses secara terperinci, tetapi pada dasarnya apa yang kita lakukan ialah mengetahui apa yang membuat penyebut sama sama dengan sifar (dalam kes # C # ia adalah # x = 3 #), dan memasukkannya ke sebelah kiri dan menilai semasa menutup faktor yang sepadan dengan pemalar ini memberikan:

# C = (3 (3) ^ 2-3) / ((3 ^ 2 + 2) (teks (////)) (3-7)) = - 6/11 #

Kita boleh buat perkara yang sama # D #:

# D = (3 (7) ^ 2-7) / ((7 ^ 2 + 2) (7-3) (teks (////))) = 35/51 #

Kaedah perlindungan hanya berfungsi untuk faktor linear, jadi kami terpaksa menyelesaikannya # A # dan # B # menggunakan kaedah tradisional dan mendarabkan melalui penyebut bahagian tangan kiri:

# 3x ^ 2 -x = (Ax + B) (x-3) (x-7) -6/11 (x ^ 2 + 2) (x-7) +35/51 (x ^ 2 + 2) x-3) #

Jika kita melipatgandakan seluruh kurungan dan menyamakan semua pekali pelbagai # x # dan terma yang berterusan, kita boleh mengetahui nilai-nilai # A # dan # B #. Ia adalah pengiraan yang agak panjang, jadi saya hanya akan meninggalkan pautan untuk sesiapa yang berminat:

tekan di sini

# A = -79 / 561 #

# B = -94 / 561 #

Ini memberi bahawa integral kita ialah:

#int 35 / (51 (x-7)) - 6 / (11 (x-3)) - (79x + 94) / (561 (x ^ 2 + 2)

Dua pertama boleh diselesaikan dengan menggunakan penggantian-pengganti yang agak mudah:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1 / 561int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx #

Kita boleh memisahkan integral yang tersisa menjadi dua:

#int (79x) / (x ^ 2 + 2) + 94 / (x ^ 2 + 2) dx = int (79x) / (x ^ 2 + 2) dx + int 2 + 2) dx #

Saya akan memanggil sebelah kiri Integral 1 dan kanan Integral 2.

Integral 1

Kita boleh selesaikan integral ini dengan penggantian u # u = x ^ 2 + 2 #. Derivatif ialah # 2x #, jadi kami membahagikan # 2x # untuk menyatukan berkenaan dengan # u #:

# 79int x / (x ^ 2 + 2) dx = 79int cancel (x) / (2cancel (x) u) du = 79 / 2ln | u | = 79 / 2ln | x ^ 2 + 2 | + C #

Integral 2

Kami mahu mendapatkan integral ini dalam bentuk untuk # tan ^ -1 #:

#int 1 / (1 + t ^ 2) dt = tan ^ -1 (t) + C #

Jika kami memperkenalkan penggantian dengan # x = sqrt2u #, kami akan dapat mengubah integral kami ke dalam borang ini. Untuk menyatukan berkenaan dengan # u #, kita perlu berlipat ganda dengan # sqrt2 # (sejak kita mengambil derivatif berkenaan dengan # u # bukannya # x #):

# 94int 1 / (x ^ 2 + 2) dx = 94sqrt2int 1 / ((sqrt2u) ^ 2 + 2) du =

# = 94sqrt2int 1 / (2u ^ 2 + 2) du = 94 / 2sqrt2int 1 / (u ^ 2 + 1) du = #

# = 47sqrt2tan ^ -1 (u) + C = 47sqrt2tan ^ -1 (x / sqrt2) + C #

Melengkapkan integral asal

Sekarang kita tahu apa Integral 1 dan Integral 2 adalah sama, kita boleh melengkapkan integral asal untuk mendapatkan jawapan terakhir kita:

# 35 / 51ln | x-7 | -6 / 11ln | x-3 | -1/561 (79 / 2ln (x ^ 2 + 2) + 47sqrt2tan ^ -1 ((sqrt2x) / 2)