Apakah ortocenter segitiga dengan titik pada O (0,0), P (a, b), dan Q (c, d) #?

Jawapan:

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #

Penjelasan:

Saya umumkan soalan lama ini daripada meminta yang baru. Saya telah melakukan ini sebelum membuat pertanyaan mengenai circumcenter dan tidak ada yang teruk, jadi saya meneruskan siri ini.

Seperti sebelum ini saya meletakkan satu titik di asalnya untuk cuba mengekalkan aljabar. Segitiga sewenang-wenangnya mudah diterjemahkan dan hasilnya mudah diterjemahkan kembali.

Ortocenter adalah persimpangan ketinggian segitiga. Kewujudannya didasarkan pada teorem bahawa ketinggian segi tiga berpotongan pada satu titik. Kami katakan ketinggian tiga bersamaan.

Mari buktikan ketinggian OPQ segitiga bersamaan.

Arah vektor sebelah OP ialah # P-O = P = (a, b), # yang hanya cara mewah untuk mengatakan cerun itu # b / a # (tetapi vektor arah juga berfungsi apabila # a = 0 #). Kami mendapat arah vektor arah tegak lurus dengan menukar koordinat dan menafikan satu, di sini # (b, -a). # Secara tegas disahkan oleh produk dot sifar:

# (a, b) cdot (b, -a) = ab-ba = 0 quad sqrt #

Persamaan parametrik ketinggian dari OP ke Q ialah:

# (x, y) = Q + t (b, -a) = (c, d) + t (b, -a) quad # untuk sebenar # t #

Ketinggian dari OQ ke P adalah sama

# (x, y) = (a, b) + u (d, -c) quad # untuk sebenar # u #

Arah vektor PQ adalah # Q-P = (c-a, d-b) #. Oleh itu, tegak lurus melalui asal, iaitu ketinggian dari PQ

# (x, y) = v (d-b, a-c) quad # untuk sebenar # v #

Mari lihat pada pertemuan ketinggian dari OP dan PQ:

# (c, d) + t (b, -a) = v (d-b, a-c) #

Itulah dua persamaan dalam dua tidak diketahui, # t # dan # v #.

# c + bt = v (d-b) #

# d-at = v (a-c) #

Kami akan membiak pertama dengan # a # dan yang kedua oleh # b #.

# ac + abt = av (d-b) #

# bd-abt = bv (a-c) #

Menambah, #ac + bd = v (a (d-b) + b (a-c)) = v (ad - ab + ab-bc) #

#v = {ac + bd} / {ad - bc} #

Cara sejuk dengan produk dot dalam pengangka dan produk salib dalam penyebut.

Pertemuan itu adalah orthocenter yang dianggap # (x, y) #:

# (x, y) = v (d-b, a-c) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c)

Mari kita temui pertemuan ketinggian dari OQ dan PQ seterusnya. Dengan simetri kita hanya boleh menukar # a # dengan # c # dan # b # dengan # d #. Kami akan memanggil hasilnya # (x ', y'). #

# (x ', y') = {ca + db} / {cb - da} (b-d, c-a) = {ac + bd} / {ad - bc}

Kami mempunyai dua persimpangan ini adalah sama, # (x ', y') = (x, y), # jadi kami telah membuktikan ketinggian bersamaan. #quad sqrt #

Kami telah membenarkan penamaan persimpangan umum itu ortocenter, dan kami telah menemui koordinatnya.

# (x, y) = {ac + bd} / {ad - bc} (d-b, a-c) #