Jawapan:
Sila lihat penjelasan di bawah
Penjelasan:
Fungsi ini adalah
#f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
Derivatif separa adalah
# (delf) / (delx) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (dely) = 2y + x-3 #
Biarkan # (delf) / (delx) = 0 # dan # (delf) / (dely) = 0 #
Kemudian, # {(2x + y + 3 = 0), (2y + x-3 = 0):} #
#=>#, # {(x = -3), (y = 3):} #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
Matriks Hessian adalah
#Hf (x, y) = (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ (dely ^ 2))) #
Penentu adalah
#D (x, y) = det (H (x, y)) = | (2,1), (1,2) | #
#=4-1=3 >0#
Oleh itu, Tidak ada mata pelana.
#D (1,1)> 0 # dan # (del ^ 2f) / (delx ^ 2)> 0 #, terdapat minimum tempatan pada #(-3,3)#
Jawapan:
Minimum setempat: #(-3,3)#
Penjelasan:
Kumpulan mata yang termasuk mata ekstrema dan pelana didapati apabila kedua-duanya # (delf) / (delx) (x, y) # dan # (delf) / (dely) (x, y) # sama dengan sifar.
Anggap # x # dan # y # adalah pembolehubah bebas:
# (delf) / (delx) (x, y) = 2x + y + 3 #
# (delf) / (dely) (x, y) = x + 2y-3 #
Oleh itu, kita mempunyai dua persamaan serentak, yang dengan senangnya berlaku linier:
# 2x + y + 3 = 0 #
# x + 2y-3 = 0 #
Dari yang pertama:
# y = -2x-3 #
Gantikan kedua:
# x + 2 (-2x-3) -3 = 0 #
# x-4x-6-3 = 0 #
# -3x-9 = 0 #
# x = -3 #
Gantikan semula ke yang pertama:
# 2 (-3) + y + 3 = 0 #
# -6 + y + 3 = 0 #
# -3 + y = 0 #
# y = 3 #
Oleh itu, terdapat satu titik di mana derivatif pertama seragam menjadi sifar, sama ada ekstrem atau pelana, di # (x, y) = (- 3,3) #.
Untuk menyimpulkannya, kita mesti mengira matriks derivatif kedua, matriks Hessian (http://en.wikipedia.org/wiki/Hessian_matrix):
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ #
# (del ^ 2f) / (delx ^ 2) = 2 #
# (del ^ 2f) / (delxdely) = 1 #
# (del ^ 2f) / (delydelx) = 1 #
# (del ^ 2f) / (dely ^ 2) = 2 #
Oleh itu
# (((del ^ 2f) / (delx ^ 2), (del ^ 2f) / (delxdely)), ((del ^ 2f) / (delydelx), (del ^ 2f) / (dely ^ = ((2,1), (1,2)) #
Semua derivatif pesanan kedua seragam yang tetap sama ada nilai-nilai # x # dan # y #, jadi kita tidak perlu mengira nilai-nilai untuk kepentingan yang khusus.
NB Urutan pembezaan tidak penting untuk fungsi dengan derivatif kedua yang berterusan (Clairault's Theorem, permohonan di sini: http://en.wikipedia.org/wiki/Symmetry_of_second_derivatives), dan oleh itu kami menjangkakan bahawa # (del ^ 2f) / (delxdely) = (del ^ 2f) / (delydelx) #, seperti yang kita lihat dalam keputusan khusus kami di atas.
Dalam kes dua-pembolehubah ini, kita boleh menyimpulkan jenis titik dari penentu Hessian, # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) (del ^ 2f) / (dely ^ 2) - (del ^ 2f) / (delxdely) (del ^ 2f) / (delydelx) = 4-1 =.
Satu bentuk ujian untuk mentadbir diberikan di sini:
Kami melihat bahawa penentu itu #>0#, dan sebagainya # (del ^ 2f) / (delx ^ 2) #. Jadi kita menyimpulkan bahawa #(-3,3)#, satu-satunya derivatif sifar pertama, adalah minimum fungsi tempatan.
Sebagai pemeriksaan kewarasan bagi satu soalan fungsi satu dimensi, saya biasanya menyiarkan graf itu, tetapi Socratic tidak mempunyai kemudahan permukaan atau plotting plotting yang sesuai untuk fungsi dua dimensi, setakat yang saya dapat lihat. Jadi saya akan melampaui kedua-dua fungsi #f (-3, y) # dan #f (x, 3) #, yang tidak mencirikan keseluruhan domain fungsi untuk kami, tetapi akan menunjukkan kepada kita minimum antara mereka, yang muncul seperti yang diharapkan pada # y = 3 # dan # x = -3 #, dengan mengambil nilai fungsi yang serupa # f = -5 # dalam setiap kes.
Sebagai #f (x, y) = x ^ 2 + xy + y ^ 2 + 3x-3y + 4 #
#f (-3, y) = y ^ 2-6y + 4 #
#f (x, 3) = x ^ 2 + 6x + 4 #
graf {(x- (y ^ 2-6y + 4)) (y- (x ^ 2 + 6x + 4)) = 0 -10, 5, -6, 7}
