Jawapan:
#(-9/14,3/28)#
Penjelasan:
Kami bermula dengan # y = 3 (x + 1) ^ 2 + 4x ^ 2 + 3x #. Ini bukan dalam bentuk piawai atau bentuk puncak, dan saya lebih suka bekerja dengan salah satu daripada dua bentuk. Oleh itu, langkah pertama saya adalah untuk mengubah keadaan di atas menjadi bentuk standard. Kami melakukannya dengan mengubah persamaan sehingga kelihatan seperti itu # y = ax ^ 2 + bx + c #.
Pertama, kita berurusan dengan # (x + 1) ^ 2 #. Kami tulis semula sebagai # (x + 1) * (x + 1) #, dan memudahkan pengedaran, yang semuanya memberikan kita # x ^ 2 + x + x + 1 #, atau # x ^ 2 + 2x + 1 #.
Sekarang kita ada # 3 (x ^ 2 + 2x + 1) + 4x ^ 2 + 3x #. Jika kita mudahkan # 3 (x ^ 2 + 2x + 3) #, yang meninggalkan kita # 3x ^ 2 + 6x + 3 + 4x ^ 2 + 3x #. Sekarang kita dapat menggabungkan istilah seperti. # 3x ^ 2 + 4x ^ 2 # memberi kita # 7x ^ 2 #, dan # 6x + 3x # sama dengan # 9x #. Sekarang kita ada # 7x ^ 2 + 9x + 3 #, yang dalam bentuk standard. Jangan terlalu selesa, kerana kami akan menukar itu ke dalam bentuk puncak dalam hanya satu minit.
Untuk menyelesaikan bentuk puncak, kita akan melengkapkan persegi. Kami juga boleh menggunakan formula kuadratik atau graf persamaan yang ada sekarang, tetapi di mana keseronokan itu? Melengkapkan datarannya lebih sukar, tetapi ia adalah satu kaedah yang bernilai belajar kerana ia agak cepat, sebaik sahaja anda menguasainya. Mari kita mulakan.
Pertama, kita perlu dapatkan # x ^ 2 # dengan sendirinya (tiada koefisien kecuali nombor itu #1# dibenarkan). Dalam kes kita, kita perlu faktor a #7# dari segala-galanya. Itu memberi kita # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 3/7) #. Dari sini, kita perlu mengambil jangka pertengahan # (9 / 7x) # dan bahagikan pekali oleh #2#, iaitu #9/14#. Kemudian kita persegi itu dan kami ada #81/196#. Kami menambah bahawa kepada persamaan kami, seperti berikut: # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 + 3/7) #.
WAIT !!! Kami hanya tersekat nombor rawak dalam persamaan! Kita tidak boleh berbuat demikian! Bagaimanakah kita boleh membetulkannya? Nah, bagaimana jika kita hanya … tolak nombor yang baru kita tambah? Kemudian nilai itu tidak berubah #(81/196-81/196=0)#, jadi kami tidak melanggar sebarang peraturan, kan? Baiklah, mari kita lakukan itu.
Sekarang kita ada # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) #. Okay, kami baik sekarang. Walau bagaimanapun, kita harus terus mempermudahkan, kerana # 7 (x ^ 2 + 9 / 7x + 81 / 196-81 / 196 + 3/7) # panjang dan rumit. Jadi, #-81/196+3/7# adalah #3/196#, dan kita boleh menulis semula # x ^ 2 + 9 / 7x + 81/196 # sebagai # (x + 9/14) * (x + 9/14) #, atau # (x + 9/14) ^ 2 #. Anda mungkin tertanya-tanya mengapa saya tidak bergabung #3/196# dengan #81/196#. Nah, saya ingin membuat persegi sempurna, seperti # (x + 9/14) ^ 2 #. Itulah yang sebenarnya titik melengkapkan persegi. # x ^ 2 + 9/7 + 3/7 # tidak faktorable, jadi saya dapati nombor ((9/2) / 2 ^ 2) yang menjadikannya faktorable. Sekarang kita mempunyai persegi yang sempurna, dengan perkara-perkara yang tidak selesa dan tidak sempurna pada akhirnya.
Jadi, kita ada sekarang # 7 ((x + 9/14) ^ 2 + 3/196) #. Kita hampir selesai, tetapi kita masih boleh melakukan satu perkara lagi: mengedarkannya #7# kepada #3/196#. Itu memberi kita # 7 (x + 9/14) ^ 2 + 3/28 #, dan kami kini mempunyai puncak kami! Dari # 7 (x + warna (hijau) (9/14)) ^ 2color (merah) (+ 3/28) #, kami mendapat kedua-dua kami #color (hijau) (x) #- nilai dan kami #color (merah) (y) #- nilai. Puncak kami ialah # (warna (oren) (-) warna (hijau) (9/14), warna (merah) (3/28)) #. Sila ambil perhatian bahawa tanda #color (hijau) (x) # komponen adalah bertentangan tanda dalam persamaan.
Untuk menyemak kerja kami, kita boleh grafkan persamaan tersebut dan temui puncak itu dengan cara itu.
graf {y = 7x ^ 2 + 9x + 3}
Titisan itu ialah #(.643,.107)#, iaitu bentuk perpuluhan bulat #(-9/14, 3/28)#. Kami betul! Bagus.
