Tolong bantu saya dalam ini, bagaimana untuk melakukannya?

Jawapan:

#k = 3 #

Penjelasan:

Menggunakan sifat eksponen itu # (ab) ^ x = a ^ xb ^ x # dan # (a ^ x) ^ y = a ^ (xy) #, kita ada

# 24 ^ k = (2 ^ 3 * 3 ^ 1) ^ k = (2 ^ 3) ^ k * (3 ^ 1) ^ k = 2 ^ (3k) * 3 ^ k #

Oleh itu #13!# boleh dibahagikan dengan # 24 ^ k # jika dan hanya jika #13!# boleh dibahagikan dengan # 2 ^ (3k) # dan boleh dibahagi oleh # 3 ^ k #.

Kita boleh memberitahu kuasa terbesar #2# dengan mana #13!# boleh dibahagikan dengan jika kita melihat faktornya yang boleh dibahagi oleh #2#:

#2 = 2^1#

#4 = 2^2#

#6 = 2^1*3#

#8 = 2^3#

#10 = 2^1*5#

#12 = 2^2*3#

Oleh kerana tiada faktor ganjil menyumbang kepada faktor-faktor yang ada #2#, kita ada

# 13! = (2 ^ 1 * 2 ^ 2 * 2 ^ 1 * 2 ^ 3 * 2 ^ 1 * 2 ^ 2) * m = 2 ^ (10) * m #

di mana # m # adalah integer yang tidak dapat dibahagi oleh #2#. Oleh itu, kita tahu itu #13!# boleh dibahagikan dengan # 2 ^ (3k) # jika dan hanya jika #2^10# boleh dibahagikan dengan # 2 ^ (3k) #, maksudnya # 3k <= 10 #. Sebagai # k # adalah integer, ini bermakna #k <= 3 #.

Seterusnya, kita boleh melihat faktor mana #13!# boleh dibahagi oleh #3#:

#3 = 3^1#

#6 = 3^1 * 2#

#9 = 3^2#

#12 = 3^1*4#

Tidak seperti faktor lain #13!# menyumbang sebarang faktor #3#, ini bermaksud

# 13! = (3 ^ 1 * 3 ^ 1 * 3 ^ 2 * 3 ^ 1) * n = 3 ^ 5 * n #

di mana # n # adalah integer yang tidak dapat dibahagi oleh #3#. Oleh itu, kita tahu itu #3^5# boleh dibahagikan dengan # 3 ^ k #, maksudnya #k <= 5 #.

Integer bukannegatif terbesar yang memenuhi kekangan #k <= 3 # dan #k <= 5 # adalah #3#, memberi kami jawapan kami # k = 3 #.

Kalkulator akan mengesahkannya #(13!)/24^3 = 450450#, sedangkan #(13!)/24^4=18768.75#