Bagaimana anda menilai integral int (dt) / (t-4) ^ 2 dari 1 hingga 5?

Bagaimana anda menilai integral int (dt) / (t-4) ^ 2 dari 1 hingga 5?
Anonim

Jawapan:

Pengganti # x = t-4 #

Jawapannya ialah, jika anda sememangnya diminta untuk mencari sahaja yang penting:

#-4/3#

Sekiranya anda mencari kawasan itu, ia tidak begitu mudah.

Penjelasan:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

Set:

# t-4 = x #

Oleh itu perbezaan:

# (d (t-4)) / dt = dx / dt #

# 1 = dx / dt #

# dt = dx #

Dan had:

# x_1 = t_1-4 = 1-4 = -3 #

# x_2 = t_2-4 = 5-4 = 1 #

Sekarang ganti tiga nilai ini yang dijumpai:

# int_1 ^ 5dt / (t-4) ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1dx / x ^ 2 #

#int _ (- 3) ^ 1x ^ -2dx #

# 1 / (- 2 + 1) x ^ (- 2 + 1) _ (- 3) ^ 1 #

# - x ^ -1 _ (- 3) ^ 1 #

# - 1 / x _ (- 3) ^ 1 #

#-(1/1-1/(-3))#

#-(1+1/3)#

#-4/3#

CATATAN: JANGAN BACA INI JIKA JIKA ANDA TIDAK AKAN MENYATAKAN BAGAIMANA MENCARI AREA. Walaupun ini sebenarnya mewakili kawasan antara dua had dan kerana ia sentiasa positif, ia sepatutnya positif. Walau bagaimanapun, fungsi ini adalah tidak berterusan pada # x = 4 # jadi integral ini tidak mewakili kawasan, jika itu yang anda inginkan. Ia agak rumit.

Jawapan:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -4 / 3 #

Penjelasan:

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 "" t-2 = u ";" d t = d u #

# int_1 ^ 5 (d u) / u ^ 2 = int _1 ^ 5 u ^ -2 d u = | u ^ (- 2 + 1) / (- 2 + 1) | _1 ^ 5 = | -u ^ -1 | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 = | -1 / u | _1 ^ 5 = | -1 / (t-2) | _1 ^ 5 #

# int_1 ^ 5 (dt) / (t-2) ^ 2 = -1 / ((5-2)) + 1 / ((1-2)) #

# int_1 ^ 5 (d t) / (t-2) ^ 2 = -1 / 3-1 = -4 / 3 #

Jawapan:

Bergantung pada sejauh mana integrasi yang anda pelajari, jawapan "terbaik" adalah sama ada: "integral tidak ditakrifkan" (belum) atau "penyimpangan penting"

Penjelasan:

Apabila kita cuba menilai # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, kita harus memeriksa bahawa integrand ditakrifkan pada selang yang kita sedang mengintegrasikan.

# 1 / (x-4) ^ 2 # tidak ditakrifkan pada #4#, jadi ia tidak ditakrifkan pada keseluruhan selang #1,5#.

Awal dalam kajian kalkulus, kami menentukan integral dengan memulakan dengan

"Mari # f # tentukan pada selang waktu # a, b #… '

Maka awal dalam kajian kami, jawapan yang terbaik ialah

# int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx # #' '# tidak ditakrifkan (lagi?)

Kemudian kita melanjutkan takrifan untuk apa yang disebut "integral tidak wajar"

Ini termasuk integral pada selang tanpa had (# (- oo, b #, # a, ya # dan # (- ya, ya) #) dan juga selang-seling di mana integrand mempunyai titik di mana ia tidak ditakrifkan.

Untuk (cuba) untuk menilai # int_1 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #, kita menilai kedua-dua integral yang tidak betul # int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx + int_4 ^ 5 1 / (x-4) ^ 2 dx #.

(Perhatikan bahawa integrand masih belum didefinisikan pada ini ditutup selang.)

Kaedah ini adalah untuk menggantikan titik di mana integrand tidak dapat ditentukan oleh pemboleh ubah, kemudian mengambil had kerana pemboleh ubah tersebut menghampiri nombor tersebut.

# int_1 ^ 4 1 / (x-4) ^ 2 dx = lim_ (brarr4 ^ -) int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx #

Mari kita cari yang pertama:

# int_1 ^ b 1 / (x-4) ^ 2 dx = -1 / (x-4) _ 1 ^ b #

# = (-1 / (b-4)) - (- 1 / (- 3)) #

# = -1 / (b-4) -1 / 3 #

Mencari had sebagai # brarr4 ^ - #, kita melihat bahawa had itu tidak wujud. (Seperti # brarr4 ^ - #, nilai # -1 / (b-4) # meningkat tanpa terikat.)

Oleh itu, yang penting #1,4# tidak wujud begitu penting #1,5# tidak wujud.

Kami mengatakan bahawa menyimpang penting.

Catatan

Ada yang berkata: kita sekarang ada definisi yang tidak terpisahkan, hanya ada nombor yang memenuhi takrifnya.