Bagaimanakah anda memudahkan 2cos ^ 2 (4θ) -1 menggunakan formula dua sudut?

Jawapan:

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 = cos (8 theta) #

Penjelasan:

Terdapat beberapa formula double angle untuk kosinus. Biasanya pilihan adalah yang mengubah kosinus ke kosinus yang lain:

# cos 2x = 2 cos ^ 2 x - 1 #

Kita sebenarnya boleh mengambil masalah ini dalam dua arah. Cara paling mudah adalah untuk mengatakan # x = 4 theta # jadi kita dapat

# cos (8 theta) = 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

yang cukup mudah dipermudahkan.

Cara biasa untuk pergi adalah untuk mendapatkan ini dari segi # cos theta #. Kita mulakan dengan membiarkannya # x = 2 theta. #

# 2 cos ^ 2 (4 theta) - 1 #

# = 2 cos ^ 2 (2 (2 theta)) - 1 #

# = 2 (2 cos ^ 2 (2 theta) - 1) ^ 2 - 1 #

# = 2 (2 (2 cos ^ 2 theta -1) ^ 2 -1) ^ 2 -1 #

# = 128 cos ^ 8 theta - 256 cos ^ 6 theta + 160 cos ^ 4 theta - 32 cos ^ 2 theta + 1 #

Jika kami tetapkan # x = cos theta # kita akan mempunyai polinomial kelapan Chebyshev yang pertama, # T_8 (x) #, memuaskan

#cos (8x) = T_8 (cos x) #

Saya meneka cara pertama mungkin apa yang mereka lakukan selepas itu.