Jawapan:
Ini betul-betul salah satu akar #T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) # di mana #T_n (x) # adalah # n #th Chebyshev Polinomial jenis pertama. Itulah salah satu dari empat puluh enam akar:
# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 38958828003262464 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #
Penjelasan:
# 58 ^ circ # bukannya berganda # 3 ^ circ #. Gandaan # 1 ^ circ # yang tidak berganda # 3 ^ circ # tidak boleh dibina dengan lurus dan kompas, dan fungsi trignya bukan hasil dari beberapa komposisi integer menggunakan penambahan, penolakan, pendaraban, pembahagian dan petak persegi.
Itu tidak bermakna kita tidak dapat menulis beberapa ungkapan #cos 58 ^ circ #. Mari ambil tanda ijazah yang bermaksud faktor # {2pi} / 360 #.
# e ^ {i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ + i sin 58 ^ circ #
# a ^ {- i 58 ^ circ} = cos 58 ^ circ - i sin 58 ^ circ #
# e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ} = 2 cos 58 ^ circ #
#cos 58 ^ circ = 1/2 (e ^ {i 58 ^ circ} + e ^ {- i 58 ^ circ}) #
Tidak begitu membantu.
Kita boleh cuba menulis satu persamaan polinom yang salah satu akarnya #cos 58 ^ circ # tetapi ia mungkin terlalu besar untuk dimuatkan.
# theta = 2 ^ circ # adalah #180#th suatu bulatan. Sejak #cos 88 ^ circ = -cos 92 ^ circ # maksudnya #cos 2 ^ circ # memuaskan
#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #
#cos (180 ^ circ -44 theta) = cos (46 theta) #
Mari selesaikan ini # theta # pertama. #cos x = cos a # mempunyai akar # x = pm a + 360 ^ circ k, # integer # k #.
# 180 ^ pusingan -46 theta = pm 44 theta - 360 ^ circ k #
# 46 theta pm 44 theta = 180 ^ circ + 360 ^ circ k #
#theta = 2 ^ pusingan + 4 ^ pusingan k atau theta = 90 ^ pusingan + 180 ^ pusingan k #
Itulah banyak akar, dan kita lihat # theta = 58 ^ circ # antara mereka.
Polinomial #T_n (x) #, yang dipanggil Chebyshev Polynomials jenis pertama, memuaskan #cos (n theta) = T_n (cos theta) #. Mereka mempunyai koefisien integer. Kita tahu beberapa pertama dari formula dua dan tiga sudut:
#cos (0 theta) = 1 quad quad # jadi# quad quad T_0 (x) = 1 #
#cos (1 theta) = cos theta quad quad # jadi# quad quad T_1 (x) = x #
#cos (2 theta) = 2cos ^ 2 theta - 1 quad quad # jadi # quad quad T_2 (x) = 2x ^ 2-1 #
#cos (3 theta) = 4cos ^ 3 theta - 3 cos theta quad quad # jadi # quad quad T_3 (x) = 4x ^ 4-3x #
Terdapat perhubungan rekursif yang baik yang boleh kami sahkan:
# T_ {n + 1} (x) = 2x T_ {n} (x) - T_ {n-1} (x) #
Oleh itu, secara teori kita dapat menjana ini sebagai sebesar # n # seperti yang kita ambil perhatian.
Jika kita membiarkannya # x = cos theta, # persamaan kami
#cos (44 theta) = -cos (46 theta) #
menjadi
#T_ {44} (x) = -T_ {46} (x) #
Wolfram Alpha gembira dapat memberitahu kami apa itu. Saya akan menulis persamaan itu hanya untuk menguji persembahan matematik:
# 8796093022208 x ^ 44 - 96757023244288 x ^ 42 + 495879744126976 x ^ 40 - 1572301627719680 x ^ 38 + 3454150138396672 x ^ 36 - 5579780992794624 x ^ 34 + 6864598984556544 x ^ 32 - 6573052309536768 x ^ 30 + 4964023879598080 x ^ 28 - 2978414327758848 x ^ + 1423506847825920 x ^ 24 - 541167892561920 x ^ 22 + 162773155184640 x ^ 20 - 38370843033600 x ^ 18 + 6988974981120 x ^ 16 - 963996549120 x ^ 14 + 97905899520 x ^ 12 - 7038986240 x ^ 10 + 338412800 x ^ 8 - 9974272 x ^ 6 + 155848 x ^ 4 - 968 x ^ 2 + 1 = - (35184372088832 x ^ 46 - 404620279021568 x ^ 44 + 2174833999740928 x ^ 42 - 7257876254949376 x ^ 40 + 16848641306132480 x ^ 38 - 38958828003262464 x ^ 30 - 20758645314682880 x ^ 28 + 10898288790208512 x ^ 26 - 4599927086776320 x ^ 24 + 1555857691115520 x ^ 22 - 418884762992640 x ^ 20 + 88826010009600 x ^ 18 - 14613311324160 x ^ 16 + 1826663915520 x ^ 168586629120 x ^ 12 + 11038410240 x ^ 10 - 484140800 x ^ 8 + 13034560 x ^ 6 - 186208 x ^ 4 + 1058 x ^ 2 - 1) #
Ya, jawapan ini semakin lama, terima kasih Socratic. Bagaimanapun, salah satu akar polinomial darjah ke-46 dengan pekali integer ialah # cos 58 ^ circ #.
