Bagaimana anda menyelesaikan sistem x ^ 2 + y ^ 2 = 9 dan x-3y = 3?

Jawapan:

Terdapat dua penyelesaian untuk sistem ini: mata #(3,0)# dan #(-12/5, -9/5)#.

Penjelasan:

Ini adalah sistem persamaan yang menarik kerana ia menghasilkan lebih daripada satu penyelesaian bagi satu pembolehubah.

Kenapa ini berlaku adalah sesuatu yang boleh kita analisa sekarang. Persamaan pertama, ialah bentuk piawai untuk bulatan dengan jejari #3#. Yang kedua ialah persamaan yang sedikit kemas untuk satu baris. Dibersihkan, ia akan kelihatan seperti ini:

#y = 1/3 x - 1 #

Jadi secara semulajadi jika kita menganggap bahawa satu penyelesaian kepada sistem ini akan menjadi satu titik di mana garis dan bulatan itu bersilang, kita tidak boleh terkejut untuk mengetahui bahawa akan ada dua penyelesaian. Satu ketika garis memasuki bulatan, dan satu lagi apabila ia keluar. Lihat grafik ini:

graf {(x ^ 2 + y ^ 2 - 9) ((1/3) x -1-y) = 0 -10, 10, -5, 5}

Mula-mula kita mulakan dengan memanipulasi persamaan kedua:

# x - 3y = 3 #

#x = 3 + 3y #

Kita boleh memasukkannya terus ke persamaan pertama untuk diselesaikan # y #:

# x ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# (3 + 3y) ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 9 + 18y + 9y ^ 2 + y ^ 2 = 9 #

# 18y + 10y ^ 2 = 0 #

#y (9 + 5y) = 0 #

Jelas persamaan ini mempunyai dua penyelesaian. Satu untuk #y = 0 # dan satu lagi untuk # 9 + 5y = 0 # yang bermaksud #y = -9 / 5 #.

Kini kita boleh menyelesaikannya # x # pada masing-masing # y # nilai-nilai.

Jika # y = 0 #:

# x - 3 * 0 = 3 #

#x = 3 #

Jika #y = -9 / 5 #:

# x + 3 * (9/5) = 3 #

#x + 27/5 = 15/5 #

#x = -12 / 5 #

Jadi dua penyelesaian kami adalah perkara-perkara: #(3,0)# dan #(-12/5, -9/5)#. Jika anda melihat kembali kepada graf, anda dapat melihat bahawa ini jelas bersesuaian dengan dua titik di mana garis melintasi bulatan.