Bagaimana anda mendapati sin (x / 2), cos (x / 2), dan tan (x / 2) dari Cot yang diberikan (x) = 13?

Jawapan:

Sebenarnya terdapat empat nilai untuk # x / 2 # pada lingkaran unit, jadi empat nilai untuk setiap fungsi trig. Nilai utama sudut separuh adalah sekitar # 2.2 ^ pusingan #

#cos (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

#tan (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Sila lihat penjelasan untuk yang lain.

Penjelasan:

Mari kita bercakap tentang jawapan itu sedikit terlebih dahulu. Terdapat dua sudut pada lingkaran unit yang cotangentnya #13#. Satu adalah sekitar # 4.4 ^ circ #, dan yang lain adalah yang ditambah # 180 ^ circ #, hubunginya # 184.4 ^ circ #. Setiap satu mempunyai dua separuh sudut, sekali lagi dipisahkan oleh # 180 ^ circ. # Yang pertama mempunyai separuh sudut # 2.2 ^ circ # dan # 182.2 ^ pusingan #, yang kedua mempunyai separuh sudut # 92.2 ^ circ # dan # 272.2 ^ pusingan #, Jadi ada benar-benar empat separuh sudut yang dipersoalkan, dengan nilai yang berbeza tetapi berkaitan untuk fungsi trignya.

Kami akan menggunakan sudut di atas sebagai anggaran supaya kami mempunyai nama untuk mereka.

Sudut dengan cotangent 13:

#text {Arc} text {cot} 13 approx 4.4 ^ circ #

# 180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13 approx 184.4 ^ circ #

Separuh sudut:

Teks # 1/2 {Arc} teks {cot} 13 kira 2.2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) approx 182.2 ^ circ #

# 1/2 (180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) kira 92.2 ^ circ #

# 1/2 (360 ^ circ + 180 ^ circ + text {Arc} text {cot} 13) approx 272.2 ^ circ #

OK, formula dua sudut untuk kosinus adalah:

#cos (2a) = 2 cos ^ 2 a - 1 = 1 - sin ^ 2 a #

jadi formula sudut separuh yang berkaitan adalah

#sin a = pm sqrt {1/2 (1-cos (2a))} #

#cos a = pm sqrt {1/2 (1 + cos (2a))} #

Itulah semua pendahuluan. Mari kita buat masalah.

Kami akan membuat sudut kecil terlebih dahulu, # 2.2 ^ pusingan # Kita lihat yang lain adalah sekadar gandaan # 90 ^ circ # di atas itu, jadi kita boleh mendapatkan fungsi triganya dari sudut pertama ini.

A cotangent 13 ialah cerun #1/13# jadi sepadan dengan segi tiga tepat dengan bertentangan #1#, bersebelahan #13# dan hypotenuse #sqrt {13 ^ 2 + 1 ^ 2} = sqrt {170}. #

#cos (text {Arc} text {cot} 13) = cos 4.4 ^ circ = {13} / sqrt {170} #

#sin (text {Arc} text {cot} 13) = sin 4.4 ^ circ = {1} / sqrt {170} #

Sekarang kita menggunakan formula sudut separuh. Untuk sudut kecik kami di kuadran pertama, kami memilih tanda-tanda positif.

#cos (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = cos 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 + cos (4.4 ^ circ) / sqrt {170})} #

Kita boleh cuba memudahkan dan menggerakkan pecahan di luar radikal, tetapi saya hanya akan meninggalkannya di sini.

#sin (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = sin 2.2 ^ circ = sqrt {1/2 (1 - cos (4.4 ^ circ) / sqrt {170})} #

Sudut setengah tangen adalah hasil daripada mereka, tetapi lebih mudah digunakan

# tan (theta / 2) = {sin theta} / {1 + cos theta} #

#tan (1 / 2text {Arc} text {cot} 13) = tan 2.2 ^ circ = {1 / sqrt {170}} / {1 + {13} / sqrt {170}} = sqrt (170) - 13 #

OK, itu semua bahagian yang sukar, tetapi jangan lupa sudut lain.

# cos 182.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 + {13} / sqrt {170})} #

#sin 182.2 ^ circ = -sin 2.2 ^ circ = - sqrt {1/2 (1 - {13} / sqrt {170})} #

# tan 182.2 ^ circ = tan 2.2 ^ circ = sqrt (170) - 13 #

Sekarang kita mempunyai sudut yang tersisa, yang menukar sinus dan kosinus, menandatangani tanda-tanda. Kami tidak akan mengulangi borang kecuali tangen.

# cos 92.2 ^ circ = - sin 2.2 ^ circ #

#sin 92.2 ^ circ = cos 2.2 ^ circ #

# tan 92.2 ^ circ = -1 / {tan 2.2 ^ circ} = -13 - sqrt (170) #

# cos 272.2 ^ circ = sin 2.2 ^ circ #

#sin 272.2 ^ circ = - cos 2.2 ^ circ #

# tan 272.2 ^ circ = tan 92.2 ^ circ = -13 - sqrt (170) #

Phew.

Jawapan:

#color (indigo) (tan (x / 2) = 0.0384, sin (x / 2) = + -0.0384, cos (x / 2) = + - 1 #

#color (crimson) (tan (x / 2) = -26.0384, sin (x / 2) = + - 0.9993, cos (x / 2) = + - 0.0384 #

Penjelasan:

# tan (2x) = (2 tan x) / (1 - tan ^ 2x) #

#sin 2x = (2 tan x) / (1 + tan ^ 2 x) #

+ cos 2x = (1- 2tan ^ 2 x) / (1 + tan ^ 2 x) #

#cot x = 1 / tan x = 13 #

#tan x = 1/13 #

#tan x = 1/13 = (2 tan (x / 2)) / (1 - tan ^ 2 (x / 2) #

# 1 - tan ^ 2 (x / 2) = 26 tan (x / 2) #

# tan * 2 (x / 2) + 26 tan (x / 2) - 1 = 0 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (26 ^ 2 + 4)) / 2 #

#tan (x / 2) = (-26 + - sqrt (680)) / 2 #

#tan (x / 2) = 0.0384, -26.0384 #

# csc ^ 2x = 1 + cot ^ 2 x #

#:. csc ^ 2 (x / 2) = 1 + cot ^ 2 (x / 2) #

Tetapi wen tahu #cot (x / 2) = 1 / tan (x / 2) #

Bila #tan (x / 2) = 0.0384 #, # csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / 0.0384) ^ 2 = 679.1684 #

#csc (x / 2) = sqrt (679.1684) = + -26.0609 #

#sin (x / 2) = + - (1 / 26.0609) = + -0.0384 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + - 0.0384 / 0.0384 = + - 1 #

Bila #tan (x / 2) = -26.0384 #, #csc ^ 2 (x / 2) = 1 + (1 / (-26.0384) ^ 2) = 1.0015 #

#sin (x / 2) = 1 / sqrt (1.0015) = + -0.9993 #

#cos (x / 2) = sin (x / 2) / tan (x / 2) = + -0.9993 / -26.0384 = + -0.0384 #