Selesaikan persamaan berikut: (x ^ 2-2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2)?

Jawapan:

# x = -sqrt11, -sqrt19 / 3, sqrt19 / 3, sqrt11 #

Penjelasan ini memberikan kaedah yang agak mendalam untuk menentukan langkah-langkah untuk mencari faktor yang mungkin untuk menulis semula persamaan jenis kuadratik supaya ia dapat diselesaikan tanpa persamaan kuadratik dan / atau kalkulator.

Penjelasan:

Pertama persegi istilah di sebelah kiri persamaan.

# (x ^ 2-2) / 3 + (x ^ 2-1) ^ 2/25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Kembangkan binomial kuasa dua. Ingatlah itu # (x ^ 2-1) ^ 2 = (x ^ 2-1) (x ^ 2-1) #.

# (x ^ 2-2) / 3 + (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Kita boleh membersihkan pecahan dengan mengalikan persamaan dengan penyebut yang paling kurang #3,25,# dan #9,# iaitu #225#.

Perhatikan bahawa #225=3^2*5^2#, jadi #225/3=75#, #225/25=9#, dan #225/9=25#.

Membahagikan melalui oleh #225# memberikan:

# 75 (x ^ 2-2) +9 (x ^ 4-2x ^ 2 + 1) = 25 (7) (x ^ 2-2) #

Mengedarkan setiap pemalar berbilang.

# 75x ^ 2-150 + 9x ^ 4-18x ^ 2 + 9 = 175x ^ 2-350 #

Pindah semua syarat ke satu sisi dan susun semula persamaan.

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 0 #

Ini berpotensi menjadi faktorable: kekurangan # x ^ 3 # dan # x # istilah bermakna bahawa ini mungkin dapat dipertimbangkan dalam bentuk # (x ^ 2 + a) (x ^ 2 + b) #.

Untuk menguji faktor, ambil perhatian bahawa kita perlu mencari sepasang bilangan bulat yang produknya adalah produk pekali pertama dan terakhir, iaitu # 9xx209 = 3 ^ 2 * 11 * 19 #. Bilah sama yang produknya #3^2*11*19# harus mempunyai jumlah #-118#.

Oleh kerana produk adalah positif dan jumlahnya adalah negatif, kita tahu kedua-dua bilangan bulat akan positif.

Silap mata sekarang adalah untuk mencari beberapa kombinasi nombor yang datang dari #3^2*11*19# jumlahnya #118#. (Jika kita mencari versi yang positif, kita boleh menukar kedua-dua nombor ke bentuk negatif mereka dengan mudah.)

Kita harus berusaha untuk menghasilkan kumpulan faktor-faktor dari #3^2*11*19# yang tidak melebihi #118#.

Kita boleh menghapuskan kemungkinan terlebih dahulu #3^2*19# dan #11*19# yang berlaku sebagai salah satu daripada dua integer kami, kerana kedua-duanya lebih besar daripada #118#. Oleh itu, jika kita fokus #19# kerana ia adalah faktor terbesar, kita tahu ia hanya wujud sama ada #19# atau #3*19#.

Jadi, dua pilihan kami untuk bilangan bulat ialah:

# {:(bb "Integer 1", "", bb "Integer 2", "", bb "Sum"), (19, "", 3 ^ 2 * 11 = 99, "", 118) * 3 = 57, "", 3 * 11 = 33, "", 90):} #

Oleh itu pasangan kami nombor yang produknya #3^2*11*19# dan jumlahnya #118# adalah #19# dan #99#.

Dari sini kita dapat menulis kuartik sebagai:

# 9x ^ 4-118x ^ 2 + 209 = 9x ^ 4-99x ^ 2-19x ^ 2 + 209 #

Faktor mengikut kumpulan:

# 9x ^ 2 (x ^ 2-11) -19 (x ^ 2-11) = (9x ^ 2-19) (x ^ 2-11) = 0 #

Berikannya kepada dua persamaan:

# 9x ^ 2-19 = 0 "" => "" x ^ 2 = 19/9 "" => "" x = + - sqrt19 / 3 #

# x ^ 2-11 = 0 "" => "" x ^ 2 = 11 "" => "" x = + - sqrt11 #

Jawapan:

Persamaan dengan pecahan sentiasa kelihatan lebih buruk daripada mereka. Selagi anda mempunyai persamaan dan bukan ekspresi, anda boleh menyingkirkan penyebut dengan mendarabkan oleh penyebut LCM.

Penjelasan:

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) / 5) ^ 2 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Mari kita mulakan dengan mengkuadai penyebut dalam tempoh kedua.

# (x ^ 2 -2) / 3 + ((x ^ 2-1) ^ 2) / 25 = 7/9 (x ^ 2-2) #

Kini, rujuklah setiap istilah dengan 225 untuk membatalkan penyebut.

#cancel (225) ^ 75xx ((x ^ 2 -2)) / cancel3 + cancel (225) ^ 9 ((x ^ 2-1) ^ 2) / cancel25 = cancel (225) ^ 25xx7 / cancel9 (x ^ 2-2) #

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 = 175 (x ^ 2-2) #

Ini jelas merupakan kuadrat, jadi menjadikannya sama dengan 0.

# 75 (x ^ 2 -2) + 9 (x ^ 2-1) ^ 2 - 175 (x ^ 2-2) = 0 #

Perhatikan bahawa istilah pertama dan ketiga adalah seperti istilah, jadi kita boleh menambahnya bersama. Juga persegi jangka pertengahan.

# 9 (x ^ 4 - 2x ^ 2 +1) -100 (x ^ 2 -2) + = 0 #

Keluarkan kurungan oleh undang-undang distributif:

# 9x ^ 4 - 18x ^ 2 +9 -100x ^ 2 + 200 = 0 #

Mudahkan: # 9x ^ 4 - 118x ^ 2 + 209 = 0 #

Meneroka faktor-faktor 9 dan 209 membawa kepada

9 = 3x3, atau 9x1 dan 209 = 11 x 19

Gabungan faktor yang menambah kepada 118 ialah 99 + 19

Faktor memberi # (x ^ 2 - 11) (9x ^ 2- 19) = 0 #

Jika # x ^ 2 - 11 = 0 #

# x ^ 2 = 11 #

# x = + -sqrt11 #

Jika # 9x ^ 2- 19 = 0 #

# 9x ^ 2 = 19 #

# x ^ 2 = 19/9 #

# x = (+ -sqrt19) / 3 #