Apakah nilai r (dengan r> 0) yang mana siri ini menumpu?

Jawapan:

#r <1 / e # adalah syarat untuk penumpuan #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) #

Penjelasan:

Saya hanya akan menjawab bahagian mengenai penumpuan, bahagian pertama telah dijawab dalam komen. Kita boleh guna # r ^ ln (n) = n ^ ln (r) # untuk menulis semula jumlah #sum_ (n = 1) ^ oor ^ ln (n) # dalam bentuk

#sum_ (n = 1) ^ oon ^ ln (r) = sum_ (n = 1) ^ oo 1 / n ^ p, qquad mbox {for} p = -ln (r) #

Siri di sebelah kanan adalah bentuk siri untuk fungsi Riemann Zeta yang terkenal. Adalah diketahui bahawa siri ini menumpu apabila #p> 1 #. Menggunakan hasil ini terus memberi

# -ln (r)> 1 menunjukkan ln (r) <- 1 bermakna r <e ^ -1 = 1 / e #

Hasilnya mengenai fungsi Riemann Zeta sangat terkenal, Jika anda mahu ab initio jawapan, anda boleh mencuba ujian integral untuk penumpuan.