Apakah domain dan julat f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4)?

Jawapan:

Domain: keseluruhan baris sebenar

Julat: #-0.0757,0.826#

Penjelasan:

Soalan ini boleh ditafsirkan dalam salah satu daripada dua cara. Sama ada kita mengharapkan untuk hanya berurusan dengan barisan sebenar # RR #, atau lain-lain juga dengan pesawat lain yang kompleks # CC #. Penggunaan # x # sebagai pemboleh ubah membayangkan bahawa kita berurusan dengan garis sebenar sahaja, tetapi terdapat perbezaan yang menarik antara kedua-dua kes yang saya akan perhatikan.

Domain dari # f # adalah keseluruhan set numerik yang dikira minus mana-mana titik yang menyebabkan fungsi itu meletup kepada tak terhingga. Ini berlaku apabila penyebut # x ^ 2 + 4 = 0 #, iaitu ketika # x ^ 2 = -4 #. Persamaan ini tidak mempunyai penyelesaian yang sebenar, jadi jika kita sedang menjalankan garis sebenar, domain itu adalah selang keseluruhan # (- oo, + oo) #. Sekiranya kita menganggap had terbatas fungsi dengan membandingkan istilah utama dalam pengkuantum dan penyebut, kita melihat bahawa pada kedua-dua infiniti ia cenderung kepada sifar, dan jadi kita boleh jika kita ingin menambahkan ini pada selang itu untuk menutupnya: # - oo, + oo #.

Persamaan # x ^ 2 = -4 # bagaimanapun mempunyai dua penyelesaian kompleks, #x = + - 2i #. Sekiranya kita menganggap keseluruhan satah kompleks, maka domain adalah keseluruhan satah minus dua mata: # CC # # {+ - 2i} #. Seperti halnya reals, kita boleh menambah infiniti sama jika kita mahu.

Untuk menentukan julat # f # kita perlu mengetahui nilai maksimum dan minimumnya atas domainnya. Kami hanya akan bercakap dari segi reals sekarang, sebagai menentukan analog ke atas pesawat rumit ini pada umumnya masalah yang berbeza yang memerlukan alat matematik yang berbeza.

Ambil derivatif pertama melalui peraturan quotient:

(x ^ 2 + 4) -2x (x + 3)) / (x ^ 2 + 4) ^ 2 = (- x ^ 2-6x + 4) / (x ^ 4) ^ 2 #

Fungsinya # f # mencapai sama ada ekstrimum atau titik infleksi ketika #f '(x) = 0 #, iaitu ketika # -x ^ 2-6x + 4 = 0 #.

Kami menyelesaikannya dengan formula kuadrat:

# x = -1 / 2 (6 + -sqrt (52)) = - 3 + -sqrt (13) #. Jadi fungsi itu mempunyai dua mata seperti itu.

Kami mencirikan titik ini dengan mengkaji nilai-nilai mereka di derivatif kedua # f #, yang kami ambil, sekali lagi melalui peraturan quotient:

(x ^ 2 + 4) ^ 2 - (- x ^ 2-6x + 4) * 4x (x ^ 2 + 4)) / (x ^ 2 +4) ^ 4 #

# = (- 2 (x + 3) (x ^ 2 + 4) + 4x (x ^ 2 + 6x-4)) / (x ^ 2 + 4) ^ 3 #

Kita tahu dari pengiraan akar derivatif pertama kita bahawa istilah kedua dalam pengangka adalah sifar untuk dua titik ini, sebagai penetapannya kepada sifar ialah persamaan yang kita selesaikan untuk mencari nombor masukan.

Jadi, mencatatkannya # (- 3 + -sqrt (13)) ^ 2 = 22bar (+) 6sqrt (13) #:

(- 3 + -sqrt (13)) = (- 2 (-3 + -sqrt (13) +3) (22bar (+) 6sqrt (13) +4)) / (22bar (+) 6sqrt (13) +4) ^ 3 #

# = (bar (+) 2sqrt (13) (26bar (+) 6sqrt (13))) / (26bar (+) 6sqrt (13)

Dalam menentukan tanda ungkapan ini, kami bertanya sama ada # 26> 6sqrt (13) #. Square kedua-dua belah untuk membandingkan: #26^2=676#, # (6sqrt (13)) ^ 2 = 36 * 13 = 468 #. Jadi # 26-6sqrt (13) # adalah positif (dan # 26 + 6sqrt (13) # lebih-lebih lagi).

Oleh itu, tanda ungkapan keseluruhan datang ke #bar (+) # di hadapannya, yang bermaksud itu # x = -3-sqrt (13) # mempunyai #f '' (x)> 0 # (dan oleh itu fungsi minimum) dan # x = -3 + sqrt (13) # mempunyai #f '' (x) <0 # (dan oleh itu fungsi maksimum). Setelah diperhatikan bahawa fungsi ini cenderung kepada sifar di infiniti, kita kini memahami bentuk fungsi sepenuhnya.

Jadi sekarang untuk mendapatkan julat ini, kita mesti mengira nilai fungsi pada titik minimum dan maksimum # x = -3 + -sqrt (13) #

Ingatlah itu #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #, dan juga

#f (-3 + -sqrt (13)) = (- 3 + -sqrt (13) +3) / (22bar (+) 6sqrt (13) (+) 6sqrt (13)) #.

Oleh itu, atas talian sebenar # RR # fungsinya #f (x) # mengambil nilai dalam julat # - sqrt (13) / (26 + 6sqrt (13)), sqrt (13) / (26-6sqrt (13) #, yang jika kita menilai secara berangka, datang ke #-0.0757,0.826#, kepada tiga angka penting, diperolehi di # x # nilai-nilai #-6.61# dan #0.606# (3 s)

Plot graf fungsi sebagai pemeriksaan kewarasan:

graf {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -15, 4.816, -0.2, 1}

Jawapan:

Domain: #x dalam RR #

Julat: #f (x) di -0.075693909, + 0.825693909 warna (putih) ("xxx") # (kira-kira)

Penjelasan:

Diberikan

#color (putih) ("XXX") f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Domain

The domain semua nilai # x # untuk yang mana #f (x) # ditakrifkan.

Untuk sebarang fungsi yang dinyatakan sebagai polinomial dibahagikan dengan polinomial, fungsi tersebut ditakrifkan untuk semua nilai # x # di mana polinomial pembahagi tidak sama dengan sifar. Sejak # x ^ 2> = 0 # untuk semua nilai # x #, # x ^ 2 + 4> 0 # untuk semua nilai # x #; itu dia #x! = 0 # untuk semua nilai # x #; fungsi ditakrifkan untuk semua Real (# RR #nilai # x #.

Julat

The pelbagai adalah lebih menarik untuk berkembang.

Kami perhatikan bahawa jika fungsi yang berterusan mempunyai had, derivatif fungsi pada titik-titik yang mengakibatkan had tersebut bersamaan dengan sifar.

Walaupun beberapa langkah ini mungkin sepele, kami akan berusaha melalui proses ini dari prinsip-prinsip yang cukup asas untuk derivatif.

1 Kaedah Eksponen untuk Derivatif

Jika #f (x) = x ^ n # kemudian # (d f (x)) / (dx) = nx ^ (n-1) #

2 Peraturan Kecil untuk Derivatif

Jika #f (x) = r (x) + s (x) # kemudian # (d f (x)) / (dx) = (d r (x)) / (dx) + (d s (x)) / (dx)

3 Peraturan Produk untuk Derivatif

Jika #f (x) = g (x) * h (x) # kemudian (x) (/ dx) = (d g (x)) / (dx) * h (x) + g (x) * (d h (x)

4 Peraturan Rantaian untuk Derivatif

Jika #f (x) = p (q (x)) # kemudian (d f (x)) / (dx) = (d p (q (x))) / (d q (x)) * (d q (x)

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Untuk fungsi yang diberikan #f (x) = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

kami perhatikan bahawa ini boleh ditulis sebagai #f (x) = (x + 3) * (x ^ 2 + 4) ^ (- 1) #

Oleh 3 kita tahu

warna (putih) ("XXX") warna (merah) ((df (x)) / (dx)) = warna (kapur) ((d (x + 3)) / (dx) (x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) + warna (biru) ((x + 3)) * warna (magenta) ((d ((x ^ 2 + 4) ^ (- 1)) / (dx)) #

Oleh 1 kita ada

#color (putih) ("XXX") (d (x + 3)) / (dx) = (dx) / (dx) + (d (3 * x ^ 0)) / (dx)

dan oleh 2

warna (putih) ("XXX") (kapur) ((d (x + 3)) / (dx)) = 1 + 0 = warna (kapur)

Oleh 4 kita ada

warna (putih) ("XXX") (magenta) ((d (x + 4) ^ (- 1)) / (dx)) = (d (x + 4) ^ (- (x + 4)) * (d (x + 4)) / (dx) #

dan oleh 1 dan 2

#color (putih) ("XXXXXXXX") = - 1 (x ^ 2 + 4) ^ (- 2) * 2x #

atau, dipermudahkan:

#color (putih) ("XXXXXXXX") = warna (magenta) (- (2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)) #

memberi kami

warna (putih) ("XXX") (merah) ((df (x)) / (dx)) = warna (hijau) 1 * warna (biru) ((x + 4) ^ (- 1)) + warna (biru) ((x + 3)) * warna (magenta) ((- 2x) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2)

yang boleh dipermudahkan sebagai

#color (putih) ("XXX") warna (merah) ((d f (x)) / (dx) = (x x 2 x 4 x 4)

Seperti yang dinyatakan (jalan balik) ini bermakna bahawa nilai had akan berlaku apabila

#color (putih) ("XXX") (- x ^ 2-6x + 4) / ((x ^ 2 + 4) ^ 2) = 0 #

#color (putih) ("XXX") rArr -x ^ 2-6x + 4 = 0 #

kemudian menggunakan formula kuadratik (lihat ini, Socratic sudah mengeluh tentang panjang jawapan ini)

bila

#color (putih) ("XXX") x = -3 + -sqrt (13) #

Daripada memanjangkan penderitaan, kita hanya akan memasukkan nilai-nilai ini ke dalam kalkulator kami (atau spreadsheet, iaitu bagaimana saya melakukannya) untuk mendapatkan batasan:

#color (putih) ("XXX") f (-3-sqrt (13)) ~~ -0.075693909 #

dan

#color (putih) ("XXX") f (-3 + sqrt (13)) ~~ 0.825693909 #

Jawapan:

Cara yang lebih mudah untuk mencari julat. Domain adalah #x dalam RR #. Julat itu #y di -0.076, 0.826 #

Penjelasan:

Domain adalah #x dalam RR # sebagai

#AA x dalam RR #, penyebut # x ^ 2 + 4> 0 #

Biarkan # y = (x + 3) / (x ^ 2 + 4) #

Cross multiply

#=>#, #y (x ^ 2 + 4) = x + 3 #

# yx ^ 2-x + 4y-3 = 0 #

Ini adalah persamaan kuadrat dalam # x #

Terdapat penyelesaian jika diskriminasi #Delta> = 0 #

#Delta = (- 1) ^ 2-4 * (y) (4y-3) = 1-16y ^ 2 + 12y #

Oleh itu, # 1-16y ^ 2 + 12y> = 0 #

#=>#, # 16y ^ 2-12y-1 <= 0 #

Penyelesaian ketidaksamaan ini adalah

# y dalam (12-sqrt ((- 12) ^ 2-4 * (- 1) * 16)) / (32), ((-12) + sqrt ((- 12) ^ 2-4 * 1) * 16)) / (32) #

#y dalam (12-sqrt (208)) / 32, (12 + sqrt (208)) / 32 #

#y di -0.076, 0.826 #

graf {(x + 3) / (x ^ 2 + 4) -6.774, 3.09, -1.912, 3.016}