Bagaimanakah anda menemui kawasan yang dibatasi oleh lengkung y = -4sin (x) dan y = sin (2x) sepanjang selang tertutup dari 0 hingga pi?

Jawapan:

Evaluasi

# int_0 ^ π | -4sin (x) -sin (2x) | dx #

Kawasan adalah: #8#

Penjelasan:

Kawasan di antara dua fungsi yang berterusan #f (x) # dan #g (x) # lebih #x dalam a, b # adalah:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

Oleh itu, kita mesti mencari masa #f (x)> g (x) #

Biarkan keluk menjadi fungsi:

#f (x) = - 4sin (x) #

#g (x) = sin (2x) #

#f (x)> g (x) #

# -4sin (x)> sin (2x) #

Mengetahui bahawa #sin (2x) = 2sin (x) cos (x) #

# -4sin (x)> 2sin (x) cos (x) #

Bahagikan oleh #2# yang positif:

# -2sin (x)> sin (x) cos (x) #

Bahagikan oleh # sinx # tanpa membalikkan tanda, sejak #sinx> 0 # untuk setiap #x dalam (0, π) #

# -2> cos (x) #

Yang mustahil, kerana:

# -1 <= cos (x) <= 1 #

Jadi kenyataan awal tidak boleh benar. Oleh itu, #f (x) <= g (x) # untuk setiap #x dalam 0, π #

Integral dikira:

# int_a ^ b | f (x) -g (x) | dx #

# int_0 ^ π (g (x) -f (x)) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) - (- 4sin (x))) dx #

# int_0 ^ π (sin (2x) + 4sin (x)) dx #

# int_0 ^ πsin (2x) dx + 4int_0 ^ πsin (x) #

# -1 / 2 cos (2x) _ 0 ^ π-4 cos (x) _ 0 ^ π #

# -1 / 2 (cos2π-cos0) -4 (cosπ-cos0) #

#1/2*(1-1)-4*(-1-1)#

#8#