Bagaimana anda mencari perwakilan siri kuasa untuk (arctan (x)) / (x) dan apakah jejari konvergensi?

Jawapan:

Menggabungkan siri kuasa derivatif #arctan (x) # kemudian dibahagikan dengan # x #.

Penjelasan:

Kami tahu perwakilan siri kuasa # 1 / (1-x) = sum_nx ^ n AAx # seperti itu #absx <1 #. Jadi # 1 / (1 + x ^ 2) = (arctan (x)) '= sum_n (-1) ^ nx ^ (2n) #.

Jadi siri kuasa #arctan (x) # adalah (1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n int (-1) ^ nx ^ (2n) dx = sum_n ((1) ^ n) / (2n + 1) #.

Anda membahagikannya dengan # x #, anda mengetahui bahawa siri kuasa #arctan (x) / x # adalah #sum_n ((- 1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #. Katakan #u_n = ((-1) ^ n) / (2n + 1) x ^ (2n) #

Untuk mencari jejari konvergensi siri kuasa ini, kami menilai #lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n #.

(1) ^ (n + 1) * x ^ (2n + 2) / (2n + 3) (2n + 1) / ((- 1) ^ nx ^ (2n)) = - (2n + 1) / (2n + 3) x ^ 2 #.

#lim_ (n -> + oo) abs ((u_ (n + 1)) / u_n) = abs (x ^ 2) #. Jadi jika kita mahu siri kuasa untuk menumpu, kita perlukan #abs (x ^ 2) = absx ^ 2 <1 #, jadi siri ini akan menumpukan jika #absx <1 #, yang tidak menghairankan kerana ia adalah jejari konvergensi perwakilan siri kuasa #arctan (x) #.