Katakan terdapat asas dan beberapa dimensi tertentu untuk subspace W dalam RR ^ 4. Mengapa bilangan dimensi 2?

Jawapan:

4 dimensi tolak 2 kekangan = 2 dimensi

Penjelasan:

Koordinat ke-3 dan ke-4 adalah satu-satunya yang bebas. Dua yang pertama boleh diungkapkan dari segi dua yang terakhir.

Jawapan:

Dimensi subspace ditentukan oleh pangkalannya, dan bukan oleh dimensi ruang vektor mana pun ia adalah ruang bawah tanah.

Penjelasan:

Dimensi ruang vektor ditakrifkan oleh bilangan vektor berdasarkan ruang itu (untuk ruang dimensi tak terhingga, ia ditentukan oleh kardinaliti asas). Perhatikan bahawa takrif ini adalah konsisten kerana kita dapat membuktikan bahawa apa-apa asas ruang vektor akan mempunyai bilangan vektor yang sama seperti mana-mana asas lain.

Dalam kes # RR ^ n # kami tahu itu #dim (RR ^ n) = n # sebagai

#{(1,0,0,…0),(0,1,0,…,0),…,(0,0,…,0,1)}#

adalah asas untuk # RR ^ n # dan ada # n # unsur-unsur.

Dalam kes #W = s, t dalam RR # kita boleh menulis sebarang elemen # W # sebagai #svec (u) + tvec (v) # di mana #vec (u) = (4,1,0,1) # dan #vec (v) = (-1,0,1,0) #.

Daripada ini, kita ada # {vec (u), vec (v)} # adalah satu set untuk # W #. Kerana #vec (u) # dan #vec (v) # jelas bukan gandaan skalar antara satu sama lain (perhatikan kedudukan #0#s), itu bermakna itu # {vec (u), vec (v)} # adalah set merangkumi bebas linear # W #, iaitu asas. Kerana # W # mempunyai asas dengan #2# unsur-unsur, kita katakan itu #dim (W) = 2 #.

Perhatikan bahawa dimensi ruang vektor tidak bergantung kepada sama ada vektornya mungkin wujud di ruang vektor lain dimensi yang lebih besar. Satu-satunya hubungan ialah jika # W # adalah ruang bawah tanah # V # kemudian #dim (W) <= dim (V) # dan #dim (W) = dim (V) <=> W = V #