Jumlah kuadrat tiga bilangan bulat ialah 324. Bagaimana anda mencari bilangan bulat?

Jawapan:

Satu-satunya penyelesaian dengan bilangan bulat positif yang berbeza ialah #(2, 8, 16)#

Set penyelesaian lengkap adalah:

#{ (0, 0, +-18), (+-2, +-8, +-16), (+-8, +-8, +-14), (+-6, +-12, +-12) }#

Penjelasan:

Kita boleh menyelamatkan diri kita dengan menimbang apa bentuk bentuk kotak.

Jika # n # adalah integer ganjil kemudian #n = 2k + 1 # untuk beberapa integer # k # dan:

# n ^ 2 = (2k + 1) ^ 2 = 4 (k ^ 2 + k) + 1 #

Perhatikan bahawa ini adalah integer ganjil borang # 4p + 1 #.

Jadi, jika anda menambah kotak dua bilah ganjil, maka anda akan sentiasa mendapat integer borang # 4k + 2 # untuk beberapa integer # k #.

Perhatikan bahawa #324 = 4*81# adalah bentuknya # 4k #, tidak # 4k + 2 #.

Oleh itu, kita boleh menyimpulkan bahawa ketiga-tiga bilangan bulat mestilah semua.

Terdapat beberapa penyelesaian dalam bilangan bulat sejak itu # n ^ 2> = 0 # untuk sebarang integer # n #.

Pertimbangkan penyelesaian dalam integer bukan negatif. Kita boleh menambah variasi yang melibatkan integer negatif pada akhir.

Katakan integer terbesar adalah # n #, maka:

# 324/3 = 108 <= n ^ 2 <= 324 = 18 ^ 2 #

Jadi:

# 12 <= n <= 18 #

Ini mengakibatkan kemungkinan jumlah kuadrat dua bulat yang lain:

#324 - 18^2 = 0#

#324 - 16^2 = 68#

#324 - 14^2 = 128#

#324 - 12^2 = 180#

Untuk setiap nilai ini # k #, katakan integer baki terbesar adalah # m #. Kemudian:

# k / 2 <= m ^ 2 <= k #

dan kita perlukan # k-m ^ 2 # untuk menjadi persegi sempurna.

Oleh itu, kita dapati penyelesaian:

#(0, 0, 18)#

#(2, 8, 16)#

#(8, 8, 14)#

#(6, 12, 12)#

Jadi satu-satunya penyelesaian dengan integer positif yang berbeza ialah #(2, 8, 16)#

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 2 ^ 2 3 ^ 4 = w ^ 2 #

Ia mudah untuk menunjukkan bahawa # x, y # dan # z # mestilah kerana membuat # x = 2m_x + 1, y = 2m_y + 1 # dan # z = 2m_z # kita ada

# 4m_x ^ 2 + 4m_x + 4m_y ^ 2 + 4m_y + 4m_z ^ 2 + 2 = 4xx 3 ^ 4 # atau

# 2m_x ^ 2 + 2m_x + 2m_y ^ 2 + 2m_y + 2m_z ^ 2 + 1 = 2 xx 3 ^ 4 # yang tidak masuk akal.

Jadi kami akan mempertimbangkan sekarang

# m_x ^ 2 + m_y ^ 2 + m_z ^ 2 = 3 ^ 4 #

Sekarang mengingati identiti

(2 ^) ^ 2 + (2l) ^ 2 + (2m) ^ 2 = ((l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n) ^ 2 #

dengan # l, m, n # bulat positif sewenang-wenang dan membuat

(m_x = (l ^ 2 + m ^ 2-n ^ 2) / n), (m_y = 2l), (m_z = 2m), (m_w = (l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2) / n):} # ------ 1

kita ada

# l ^ 2 + m ^ 2 + n ^ 2 = 3 ^ 2 n # atau penyelesaian untuk # n #

#n = 1/2 (9pm sqrt (9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2))) #

jadi untuk kelayakan yang kita perlukan

# 9 ^ 2-4 (l ^ 2 + m ^ 2) = p ^ 2 # atau

# 9 ^ 2-p ^ 2 = 4 (l ^ 2 + m ^ 2) = q #

jadi untuk # p = {1,2,3,4,5,6,7,8} # kita akan mempunyai

#q = {80,77,72,65,56,45,32,17} # jadi mungkin # q # adalah

#q_f = {80,72,56,32} # kerana #q equiv 0 mod 4 #

jadi kita perlu mencari

# 4 (l_i ^ 2 + m_i ^ 2) = q_i # atau

# l_i ^ 2 + m_i ^ 2 = 1/4 q_i = bar q_i = {20,18,14,8} #

Di sini kerana kita dapat dengan mudah mengesahkan, satu-satunya penyelesaian adalah untuk

# l_1 = 2, m_1 = 4 # kerana

# l_1 ^ 2 + m_1 ^ 2 = bar q_1 #

dan akibatnya # n_1 = {4,5} #

dan menggantikannya dengan 1 kita dapat

# n_1 = 4 rArr {(m_x = 1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

# n_1 = 5 rArr {(m_x = -1), (m_y = 4), (m_z = 8):} #

memberikan penyelesaian

# {(x = 2m_x = 2), (y = 2m_y = 8), (z = 2m_z = 16):} #