Apakah Ujian Derivatif Kedua memberitahu anda tentang tingkah laku f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 pada nombor kritikal ini?

Jawapan:

Ujian Derivatif Kedua menunjukkan bahawa bilangan kritikal (titik) # x = 4/7 # memberikan minimum tempatan untuk # f # sementara tiada apa-apa mengenai sifat # f # pada nombor kritikal (mata) # x = 0,1 #.

Penjelasan:

Jika #f (x) = x ^ 4 (x-1) ^ 3 #, maka Peraturan Produk mengatakan

#f '(x) = 4x ^ 3 (x-1) ^ 3 + x ^ 4 * 3 (x-1) ^ 2 #

# = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (4 (x-1) + 3x) #

# = x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * (7x-4) #

Menetapkan ini sama dengan sifar dan penyelesaian untuk # x # menyiratkan itu # f # mempunyai nombor kritikal (mata) pada # x = 0,4 / 7,1 #.

Menggunakan Peraturan Produk sekali lagi memberikan:

(x-1) ^ 2) * (7x-4) + x ^ 3 * (x-1) ^ 2 * 7 #

# = (3x ^ 2 * (x-1) ^ 2 + x ^ 3 * 2 (x-1)) * (7x-4) + 7x ^ 3 * (x-1) ^ 2 #

# = x ^ 2 * (x-1) * ((3x-3 + 2x) * (7x-4) + 7x ^ 2-7x) #

# = x ^ 2 * (x-1) * (42x ^ 2-48x + 12) #

# = 6x ^ 2 * (x-1) * (7x ^ 2-8x + 2) #

Sekarang #f '' (0) = 0 #, #f '' (1) = 0 #, dan #f '' (4/7) = 576/2401> 0 #.

Oleh itu, Ujian Derivatif Kedua menunjukkan bahawa bilangan kritikal (titik) # x = 4/7 # memberikan minimum tempatan untuk # f # sementara tiada apa-apa mengenai sifat # f # pada nombor kritikal (mata) # x = 0,1 #.

Sebenarnya, nombor penting (titik) pada # x = 0 # memberikan maksimum tempatan untuk # f # (dan Ujian Derivatif Pertama cukup kuat untuk menyiratkan ini, walaupun Ujian Derivatif Kedua tidak memberi maklumat) dan nombor kritis (titik) pada # x = 1 # tidak memberi maksima atau min tempatan untuk # f #, tetapi "titik pelana" (satu dimensi).