Apakah GDC (2 ^ 32-2 ^ 24 + 2 ^ 16-2 ^ 8 + 1, 2 ^ 8 + 1)?

Jawapan:

Pembahagi umum yang terbesar #2^32-2^24+2^16-2^8+1# dan #2^8+1# adalah #1#

Penjelasan:

Perhatikan bahawa:

#257 = 2^8+1 = 2^(2^3)+1#

adalah nombor perdana - sebenarnya salah satu daripada nombor utama Fermat yang diketahui.

Jadi satu-satunya faktor yang mungkin berlaku ialah #2^8+1# dan #2^32-2^24+2^16-2^8+1# adalah #1# dan #257#.

Walau bagaimanapun, seperti yang telah anda ketahui dalam soalan:

#2^32-2^24+2^16-2^8+1 = (2^40+1)/(2^8+1)#

adalah bentuk:

# x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 = (x ^ 5 + y ^ 5) / (x + y) #

Satu faktor # (x + y) = 2 ^ 8 + 1 # daripada #2^40+1# bersesuaian dengan akar kesepuluh sebenar perpaduan dan # (x + y) # tidak secara automatik faktor kuartik yang tinggal # x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # faktor linier yang lain adalah semua kompleks yang tidak nyata.

Kita boleh membahagi secara manual # x ^ 4-x ^ 3y + x ^ 2y ^ 2-xy ^ 3 + y ^ 4 # oleh # x + y # untuk mendapatkan sisa polinom dan kemudian menggantikannya # x = 2 ^ 8 # dan # y = 1 # untuk memastikan bahawa ini bukan kes khas …

(x + y) (x ^ 3-2x ^ 2y + 3xy ^ 2-4y ^ 3) + 5y ^ 4 #

Jadi bakinya adalah:

# 5y ^ 4 = 5 (warna (biru) (1)) ^ 4 = 5 #

Oleh kerana selebihnya tidak sifar, #2^32-2^24+2^16-2^8+1# dan #2^8+1# tidak mempunyai faktor biasa yang lebih besar daripada #1#.