Bagaimana anda mencari int (x + 1) / (x (x ^ 2-1)) dx menggunakan pecahan separa?

Jawapan:

Anda cuba untuk memisahkan fungsi rasional ke dalam jumlah yang akan menjadi sangat mudah untuk diintegrasikan.

Penjelasan:

Pertama sekali: # x ^ 2 - 1 = (x-1) (x + 1) #.

Penguraian pecahan sebahagian membolehkan anda melakukan itu:

= (x + 1) / (x (x-1) (x + 1)) = 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) # dengan # a, b dalam RR # bahawa anda perlu mencari.

Untuk mencari mereka, anda perlu membiak kedua belah pihak dengan salah satu polinomial di sebelah kiri persamaan. Saya menunjukkan satu contoh kepada anda, pekali yang lain dapat dijumpai dengan cara yang sama.

Kami akan mencari # a #: kita perlu melipatgandakan semuanya # x # untuk membuat pekali yang lain hilang.

# 1 / (x (x-1)) = a / x + b / (x-1) iff 1 / (x-1) = a + (bx) / (x-1).

#x = 0 iff -1 = a #

Anda melakukan perkara yang sama untuk mencari # b # (anda melipatgandakan semuanya dengan # (x-1) # maka anda pilih #x = 1 #), dan anda mengetahui bahawa #b = 1 #.

Jadi # (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) = 1 / (x-1) - 1 / x #, yang menyiratkannya int / x = lnabs (x (x + 1) / (x (x ^ 2 - 1)) dx = int (1 / (x-1) x-1) - lnabsx #

Bagaimana anda mengintegrasikan int 1 / (x ^ 2 (2x-1)) menggunakan pecahan separa?

2ln | 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C Kita perlu mencari A, B, C supaya 1 / (x ^ 2 (2x-1) + C / (2x-1) untuk semua x. Multiply kedua belah pihak dengan x ^ 2 (2x-1) untuk mendapatkan 1 = Ax (2x-1) + B (2x-1) + Cx ^ 2 1 = 2Ax ^ 2-Ax + 2Bx-B + Persamaan koefisien memberi kita {(2A + C = 0), (2B-A = 0), (- B = 1):} Oleh itu kita mempunyai A = -2, B = -1, C = 4. Menggantikan ini dalam persamaan awal, kita dapat 1 / (x ^ 2 (2x-1)) = 4 / (2x-1) -2 / x-1 / x ^ 2 Sekarang, 2x-1 | -2ln | x | + 1 / x + C

Bagaimana anda mencari int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx menggunakan pecahan separa?

(1 + x) / (1 - 2x)) + C Biarkan 3 / ((1 + x) * (1 - 2x) ) Memperluas sisi kanan, kita dapati (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) (1 - 2x) = 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) iaitu A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 atau A - 2Ax + B + Bx = 3 atau (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 menyamakan koefisien x kepada 0 dan menyamakan pemalar, = 3 dan -2A + B = 0 Penyelesaian untuk A & B, kita dapat A = 1 dan B = 2 Penggantian dalam integrasi, kita dapat int 3 / ((1 + x) * (1 - 2x) Dx = int (1 / (1 + 2x)) dx = int (2 / (1 - 2x)) dx = ln (1 + x) 2 * ln (1 - 2x) * (-1 / 2) = ln (1 + x) - ln (1 - 2x) = ln ((1 + x) / (1 - 2x)

Bagaimana anda menggunakan penguraian pecahan separa untuk menguraikan pecahan untuk mengintegrasikan (2x-82) / (x ^ 2 + 2x-48)?

D / dx (x ^ 2 + 2x-48) = 2x + 2 (2x-82) / (x ^ 2 + 2x-48) = (2x + 2-84) / (x ^ 2 + 2x-48) 2 x-2) / (x ^ 2 + 2x-48) - (84) / (x ^ 2 + 2x-48) mudah diintegrasikan.