Bagaimana anda mencari int 3 / ((1 + x) (1 - 2x)) dx menggunakan pecahan separa?

Jawapan:

#ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #

Penjelasan:

Biarkan # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) # be = # (A / (1 + x) + B / (1 - 2x)) #

Memperluas sebelah kanan, kita dapat

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) #

Menyamakan, kita dapat

# (A * (1 - 2x) + B * (1 + x)) / ((1 + x) * (1 - 2x) # = # 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) #

iaitu #A * (1 - 2x) + B * (1 + x) = 3 #

atau #A - 2Ax + B + Bx = 3 #

atau # (A + B) + x * (- 2A + B) = 3 #

menyamakan koefisien x ke 0 dan menyamakan pemalar, kita dapat

#A + B = 3 # dan

# -2A + B = 0 #

Penyelesaian untuk A & B, kita dapat

#A = 1 dan B = 2 #

Penggantian dalam integrasi, kita dapat

#int 3 / ((1 + x) * (1 - 2x)) dx # = #int (1 / (1 + x) + 2 / (1 - 2x)) dx #

= #int (1 / (1 + x)) dx + int (2 / (1 - 2x)) dx #

= #ln (1 + x) + 2 * ln (1 - 2x) * (-1 / 2) #

= #ln (1 + x) - ln (1 - 2x) #

= #ln ((1 + x) / (1 - 2x)) + C #