Jawapan:
Saya tidak fikir persamaan itu sah. Saya menganggapnya #abs (z) # adalah fungsi nilai mutlak
Penjelasan:
Cuba dengan dua syarat, # z_1 = -1, z_2 = 3 #
#abs (z_1 + z_2) = abs (-1 + 3) = abs (2) = 2 #
#abs (z_1) + abs (z_2) = abs (-1) + abs (3) = 1 + 3 = 4 #
Oleh itu
#abs (z_1 + z_2)! = abs (z_1) + abs (z_2) #
#abs (z_1 + … + z_n)! = abs (z_1) + … + abs (z_n) #
Mungkin anda maksudkan ketidaksetaraan segitiga untuk nombor kompleks:
# | z_1 + z_2 + … + z_ n | le | z_1 | + | z_2 | + … + | z_n | #
Kita boleh menyingkat ini
# | jumlah z_i | le sum | z_i | #
di mana jumlahnya adalah #sum_ {i = 1} ^ n #
Lemma. # text {Re} (z) le | z | #
Bahagian sebenar tidak lebih besar daripada magnitud. Biarkan # z = x + iy # untuk sesetengah sebenar # x # dan # y #. Jelas sekali # x ^ 2 le x ^ 2 + y ^ 2 # dan mengambil akar persegi # x le sqrt {x ^ 2 + y ^ 2} #. Magnitudo sentiasa positif; # x # boleh atau mungkin tidak; sama ada cara itu tidak lebih daripada magnitud.
Saya akan menggunakan overbar untuk conjugate. Di sini kita mempunyai nombor sebenar, magnitud kuasa dua, yang sama dengan produk konjugat.Caranya ialah ia sama dengan bahagian sebenarnya. Bahagian sebenar jumlah adalah jumlah bahagian sebenar.
# | jumlah z_i | ^ 2 = sum_i z_i bar (sum_j z_j) = text {Re} (sum_i z_i bar (sum_j z_j)) = sum_i text {Re} (z_i bar (sum_j z_j)
Oleh lemma kita, dan magnitud dari produk menjadi hasil magnitud, dan magnitud konjugasi adalah sama,
# | jumlah z_i | ^ 2 le sum_i | z_i bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | bar (sum_j z_j) | = sum_i | z_i | | sum_j z_j | #
Kita boleh membatalkan satu faktor magnitud jumlah itu # | jumlah z_i | #, yang positif, memelihara ketidaksamaan.
# | jumlah z_i | le sum | z_i | #
Inilah yang kita mahu buktikan.
