Apakah punca kuadrat 543?

Jawapan:

#sqrt (543) ~~ 23.30236 #

Penjelasan:

Faktor utama dari #543# adalah:

#543 = 3 * 181#

Oleh kerana ia tidak mempunyai faktor segiempat yang lebih besar daripada #1#, akar kuadrat #543# tidak dapat dipermudahkan.

Ia adalah nombor tidak rasional antara # 23 = sqrt (529) # dan # 24 = sqrt 576 #.

Secara interpolasi secara linear, kita boleh menganggarkan:

#sqrt (543) ~~ 23+ (543-529) / (576-529) = 23 14/47 ~~ 23.3 #

Untuk lebih tepat, mari # p_0 / q_0 = 233/10 # dan berulang menggunakan formula:

# {(p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + 543 q_i ^ 2), (q_ (i + 1) = 2p_iq_i):} #

Jadi:

# {(p_1 = p_0 ^ 2 + 543 q_0 ^ 2 = 233 ^ 2 + 543 * 10 ^ 2 = 54289 + 54300 = 108589), (q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 233 * 10 = 4660):} #

Hanya satu lelaran yang mencukupi untuk mendapatkannya #7# (hampir #8#) digit yang signifikan:

#sqrt (543) ~~ p_1 / q_1 = 108589/4660 ~~ 23.30236 #

Sekiranya kita mahukan lebih banyak ketepatan, berulang sekali lagi.

Nota kaki

Pecahan berterusan yang berulang untuk #sqrt (543) # adalah:

# 543 = 23; bar (3,3,3,1,14,1,3,3,346) #

dari mana ia mungkin untuk mencari penyelesaian persamaan Pell:

#669337^2 = 543 * 28724^2 + 1#

yang menjadikan #sqrt (543) ~~ 669337/28724 # penghampiran yang sangat berkesan.