Air yang bocor ke lantai membentuk kolam pekeliling. Radius kolam meningkat pada kadar 4 cm / min. Berapa pantas kawasan kolam semakin meningkat apabila jejari adalah 5 cm?

Jawapan:

# 40pi # # "cm" ^ 2 "/ min" #

Penjelasan:

Pertama, kita harus bermula dengan persamaan yang kita ketahui yang berkaitan dengan kawasan bulatan, kolam, dan jejarinya:

# A = pir ^ 2 #

Walau bagaimanapun, kami ingin melihat berapa cepat kawasan kolam semakin meningkat, yang banyak bunyi seperti … yang terdengar seperti derivatif.

Jika kita mengambil derivatif # A = pir ^ 2 # sehubungan dengan masa, # t #, kita lihat bahawa:

# (dA) / dt = pi * 2r * (dr) / dt #

(Jangan lupa bahawa peraturan rantai berlaku di sebelah kanan, dengan # r ^ 2 #- ini sama dengan perbezaan tersirat.)

Oleh itu, kami mahu menentukan # (dA) / dt #. Persoalannya memberitahu kita bahawa # (dr) / dt = 4 # apabila ia berkata "radius kolam meningkat pada kadar #4# cm / min, "dan kami juga tahu bahawa kami mahu mencari # (dA) / dt # bila # r = 5 #. Memasang nilai-nilai ini dalam, kita melihat bahawa:

# (dA) / dt = pi * 2 (5) * 4 = 40pi #

Untuk meletakkan kata-kata ini, kami mengatakan bahawa:

Kawasan kolam semakin meningkat pada kadar # bb40pi # cm# "" ^ bb2 #/ min apabila radius bulatan adalah # bb5 # cm.

Kebun binatang ini mempunyai dua tangki air yang bocor. Satu tangki air mengandungi 12 gal air dan bocor pada kadar tetap 3 g / jam. Yang lain mengandungi 20 gal air dan bocor pada kadar malar 5 g / jam. Bilakah kedua-dua tangki mempunyai jumlah yang sama?

4 jam. Tangki pertama mempunyai 12g dan kehilangan 3g / jam Tangki kedua mempunyai 20g dan kehilangan 5g / jam Jika kita mewakili masa dengan t, kita boleh menulis ini sebagai persamaan: 12-3t = 20-5t Penyelesaian untuk t 12-3t = 20-5t => 2t = 8 => t = 4: 4 jam. Pada masa ini kedua-dua tangki akan dikosongkan serentak.

Air bocor dari tangki conical terbalik pada kadar 10,000 cm3 / min pada masa yang sama air sedang dipam ke dalam tangki pada kadar yang tetap Jika tangki mempunyai ketinggian 6m dan diameter di atas adalah 4 m dan Sekiranya paras air meningkat pada kadar 20 cm / min apabila ketinggian air adalah 2m, bagaimanakah anda mendapati kadar di mana air itu dipam ke dalam tangki?

Biarkan V menjadi isipadu air dalam tangki, dalam cm ^ 3; biarkan h ialah kedalaman / ketinggian air, dalam cm; dan biarkan r menjadi jejari permukaan air (di atas), dalam cm. Oleh kerana tangki adalah kerucut terbalik, begitu juga jisim air. Oleh kerana tangki mempunyai ketinggian 6 m dan jejari di bahagian atas 2 m, segitiga serupa menandakan bahawa frac {h} {r} = frac {6} {2} = 3 supaya h = 3r. Jumlah kon udara yang terbalik ialah V = frac {1} {3} pi r ^ {2} h = pi r ^ {3}. Sekarang membezakan kedua-dua pihak berkenaan dengan masa t (dalam minit) untuk mendapatkan frac {dV} {dt} = 3 pi r ^ {2} cdot frac {dr} {dt} langka

Apabila kolam renang rana Jane baru, ia boleh diisi dalam masa 6 minit, dengan air dari hos. Sekarang bahawa kolam mempunyai beberapa kebocoran, hanya mengambil masa 8 minit, untuk semua air untuk kebocoran dari kolam penuh. Berapa lamakah masa untuk mengisi kolam bocor?

24 minit Jika jumlah keseluruhan kolam adalah unit x, maka setiap minit x / 6 unit air dimasukkan ke dalam kolam. Begitu juga, x / 8 unit kebocoran air dari kolam setiap minit. Oleh itu, (+) x / 6 - x / 8 = x / 24 unit air diisi setiap minit. Akibatnya, kolam mengambil masa 24 minit untuk diisi.