Apakah kepelbagaian akar sebenar persamaan yang melintasi / menyentuh paksi x sekali?

Jawapan:

Beberapa pemerhatian …

Penjelasan:

Perhatikan bahawa #f (x) = x ^ 3 # mempunyai ciri-ciri:

#f (x) # adalah ijazah #3#
Satu-satunya nilai sebenar # x # untuk yang mana #f (x) = 0 # adalah # x = 0 #

Kedua-dua sifat semata-mata tidak mencukupi untuk menentukan bahawa sifar pada # x = 0 # adalah kepelbagaian #3#.

Sebagai contoh, pertimbangkan:

#g (x) = x ^ 3 + x = x (x ^ 2 + 1) #

Perhatikan bahawa:

#g (x) # adalah ijazah #3#
Satu-satunya nilai sebenar # x # untuk yang mana #g (x) = 0 # adalah # x = 0 #

Tetapi kepelbagaian sifar #g (x) # pada # x = 0 # adalah #1#.

Beberapa perkara yang boleh kita katakan:

Polinomial ijazah #n> 0 # mempunyai persis # n # kompleks (mungkin nyata) nol mengira kepanjangan. Ini adalah akibat daripada Teorem Fundamental Algebra.
#f (x) = 0 # hanya bila # x = 0 #, tetapi ia adalah ijazah #3#, begitu juga #3# menghitung nol.
Oleh itu, sifar pada # x = 0 # mestilah mempunyai kepelbagaian #3#.

Kenapa tidak sama #g (x) #?

Ia adalah ijazah #3#, begitu juga dengan tiga nol, tetapi dua daripadanya adalah nol kompleks yang tidak nyata # + - i #.

Satu lagi cara untuk melihat ini adalah untuk memerhatikannya # x = a # adalah sifar #f (x) # jika dan hanya jika # (x-a) # adalah faktor.

Kita dapati:

#f (x) = x ^ 3 = (x-0) (x-0) (x-0) #

Itu dia: # x = 0 # adalah sifar #3# kali ke atas.

Telah diketahui bahawa persamaan bx ^ 2 (a-3b) x + b = 0 mempunyai satu akar sebenar. Buktikan bahawa persamaan x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 tidak mempunyai akar sebenar.?

Lihat di bawah. Akar untuk bx ^ 2 (a-3b) x + b = 0 ialah x = (a - 3 bpmsqrt [a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2]) / (2 b) dan sebenar jika a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 atau a = b atau a = 5b Sekarang menyelesaikan x ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 kita mempunyai x = 1/2 (-a + b pm sqrt [a ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4]) Keadaan untuk akar kompleks ialah ^ 5 b ^ 2-4 lt 0 kini membuat a = b atau a = 5b kita mempunyai ^ 2 - 6 ab + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 Penutup, jika bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 mempunyai akar sebenar yang berlainan kemudian x ^ 2 + (ab) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 akan mempunyai akar kompleks.

Polinomial darjah 5, P (x) mempunyai pekali utama 1, mempunyai akar kepelbagaian 2 pada x = 1 dan x = 0, dan akar kepelbagaian 1 pada x = -3, bagaimana anda mencari formula yang mungkin untuk P (x)?

P (x) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Setiap akar sepadan dengan faktor linear, jadi kita boleh menulis: P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 + 3) = x ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) (x + 3) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 Sebilangan polinomial dengan nol ini dan sekurang-kurangnya banyak (skalar atau polinomial) dari Nota P (x) ini. Sebenarnya, nilai x yang menghasilkan P (x) = 0 dipanggil akar P (x) = 0 atau kosong daripada P (x). Oleh itu, persoalan sepatutnya telah dibicarakan tentang nol P (x) atau tentang akar P (x) = 0.

Polinomial darjah 5, P (x) mempunyai pekali utama 1, mempunyai akar kepelbagaian 2 pada x = 1 dan x = 0, dan akar kepelbagaian 1 pada x = -1 Mencari formula yang mungkin untuk P (x)?

P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Memandangkan kita mempunyai akar multiplicity 2 pada x = 1, kita tahu bahawa P (x) mempunyai faktor (x-1) 2 Memandangkan kita mempunyai akar multiplicity 2 pada x = 0, kita tahu bahawa P (x) mempunyai faktor x ^ 2 Memandangkan kita mempunyai akar kepanjangan 1 pada x = -1, kita tahu bahawa P (x) mempunyai faktor x + 1 Kami diberi bahawa P (x) adalah polinomial ijazah 5, dan oleh kerana itu kami telah mengenal pasti semua lima akar, dan faktor, maka kita boleh menulis P (x) = 0 => x ^ 2 (x -1) ^ 2 (x + 1) = 0 Oleh itu kita boleh menulis P (x) = Ax ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) 1 Oleh itu, P (x) =