Apakah derivatif f (x) = csc ^ -1 (x)?

# dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Proses:

1.) #y = "arccsc" (x) #

Mula-mula kita akan menulis semula persamaan dalam bentuk yang lebih mudah untuk digunakan.

Ambil kosecan kedua-dua pihak:

2.) #csc y = x #

Tuliskan semula dari segi sinus:

3.) # 1 / siny = x #

Selesaikan # y #:

4.) # 1 = xsin y #

5.) # 1 / x = sin y #

6.) #y = arcsin (1 / x) #

Kini, mengambil derivatif semestinya lebih mudah. Ia kini hanya satu perkara peraturan rantai.

Kami tahu itu # d / dx arcsin alpha = 1 / sqrt (1 - alpha ^ 2) # (terdapat bukti identiti ini yang terdapat di sini)

Oleh itu, ambil derivatif fungsi luar, kemudian kalikan dengan derivatif # 1 / x #:

7.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * d / dx 1 / x #

Derivatif # 1 / x # adalah sama dengan derivatif #x ^ (- 1) #:

8.) # dy / dx = 1 / sqrt (1 - (1 / x) ^ 2) * (-x ^ (- 2)) #

Memudahkan 8. memberi kami:

9.) # dy / dx = -1 / (x ^ 2 * sqrt (1 - 1 / x ^ 2)) #

Untuk membuat kenyataan itu lebih cantik, kita boleh membawa persegi # x ^ 2 # di dalam radikal, walaupun ini tidak perlu:

10.) # dy / dx = -1 / (sqrt (x ^ 4 (1 - 1 / x ^ 2))) #

Mempermudahkan hasil:

11.) # dy / dx = -1 / sqrt (x ^ 4 - x ^ 2) #

Dan ada jawapan kami. Ingat, masalah derivatif yang melibatkan fungsi jejak songsang adalah kebanyakan latihan dalam pengetahuan tentang identiti trig. Gunakannya untuk memecah fungsi itu ke dalam bentuk yang mudah dibezakan.